ГДЗ · Алгебра · 8 клас

Сторінка 16

Алгебра, Істер, 2025 · № 1.9–1.20 · 12 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 1. Раціональні вирази. Раціональні дроби

Завдання 1.9

Швидкість автомобіля

За t год автомобіль проїхав 240 км. Складіть вираз для швидкості (км/год) і знайдіть її для t = 3; 4.

Розв’язання

$v = \frac{240}{t}$ км/год.
$t = 3$ : $\frac{240}{3} = 80$ км/год.
$t = 4$ : $\frac{240}{4} = 60$ км/год.

Відповідь:

$\frac{240}{t}$ ; 80 км/год і 60 км/год.

Завдання 1.10

Ціна ручки

За n ручок заплатили 48 грн. Складіть вираз для ціни ручки та обчисліть його для n = 8; 10.

Розв’язання

Ціна однієї ручки: $\frac{48}{n}$ грн.
$n = 8$ : $\frac{48}{8} = 6$ грн.
$n = 10$ : $\frac{48}{10} = 4, 8$ грн (4 грн 80 коп.).

Відповідь:

$\frac{48}{n}$ ; 6 грн і 4,8 грн.

Завдання 1.11

Коли дріб дорівнює числу

Для якого значення змінної дріб $\frac{x + 2}{8}$ дорівнює: 1) $- 2$ ; 2) $9$ ; 3) $0, 01$ ; 4) $- 4, 9$ ?

Розв’язання

1) $x + 2 = - 16$ , $x = - 18$ .
2) $x + 2 = 72$ , $x = 70$ .
3) $x + 2 = 0, 08$ , $x = - 1, 92$ .
4) $x + 2 = - 39, 2$ , $x = - 41, 2$ .

Відповідь:

1) $- 18$ ; 2) $70$ ; 3) $- 1, 92$ ; 4) $- 41, 2$ .

Завдання 1.12

Коли дріб дорівнює числу (ще)

Для якого значення змінної дріб $\frac{m - 1}{10}$ дорівнює: 1) $- 8$ ; 2) $0, 25$ ?

Розв’язання

1) $m - 1 = - 80$ , $m = - 79$ .
2) $m - 1 = 2, 5$ , $m = 3, 5$ .

Відповідь:

1) $- 79$ ; 2) $3, 5$ .

Завдання 1.13

Коли дріб дорівнює нулю

Для якого $x$ дорівнює нулю дріб: 1) $\frac{4 x - 8}{x}$ ; 2) $\frac{x ( x + 3 )}{x ^{2}}$ ; 3) $\frac{( x - 1 ) ( x + 7 )}{x + 5}$ ; 4) $\frac{3 x - 6}{8 - 4 x}$ ?

Розв’язання

1) $4 x - 8 = 0$ , $x = 2$ ; знаменник $2 \neq = 0$ . Отже, $x = 2$ .
2) Чисельник: $x = 0$ або $x = - 3$ . При $x = 0$ знаменник нуль, тож лише $x = - 3$ .
3) $x = 1$ або $x = - 7$ ; знаменник $x + 5$ у цих точках не нуль. Обидва підходять.
4) $3 x - 6 = 0$ при $x = 2$ , але тоді $8 - 4 x = 0$ . Таких $x$ немає.

Відповідь:

1) $2$ ; 2) $- 3$ ; 3) $1$ і $- 7$ ; 4) таких значень немає.

Завдання 1.14

Коли дріб дорівнює нулю (ще)

Для якого $y$ дорівнює нулю дріб: 1) $\frac{y}{5 y - 7}$ ; 2) $\frac{( y + 1 ) y}{y ^{7}}$ ; 3) $\frac{( y + 2 ) ( y - 3 )}{y + 4}$ ; 4) $\frac{y + 1}{5 y + 5}$ ?

Розв’язання

1) $y = 0$ ; знаменник $- 7 \neq = 0$ . Відповідь $y = 0$ .
2) $y = - 1$ або $y = 0$ ; при $y = 0$ знаменник нуль. Лишається $y = - 1$ .
3) $y = - 2$ або $y = 3$ — знаменник не нуль.
4) $y = - 1$ , але тоді $5 y + 5 = 0$ . Немає таких $y$ .

Відповідь:

1) $0$ ; 2) $- 1$ ; 3) $- 2$ і $3$ ; 4) немає.

Завдання 1.15

Допустимі значення: розклад знаменника

Знайдіть допустимі значення змінної: 1) $\frac{a + 1}{( a - 1 ) ( 2 a + 7 )}$ ; 2) $\frac{t + 2}{t ^{2} - 7 t}$ ; 3) $\frac{m}{m ^{2} - 25}$ ; 4) $\frac{5}{( x - 9 ) ^{2}}$ .

Розв’язання

1) $a - 1 \neq = 0$ і $2 a + 7 \neq = 0$ : $a \neq = 1$ , $a \neq = - 3, 5$ .
2) $t^{2} - 7 t = t (t - 7)$ : $t \neq = 0$ , $t \neq = 7$ .
3) $m^{2} - 25 = (m - 5) (m + 5)$ : $m \neq = \pm 5$ .
4) $x - 9 \neq = 0$ : $x \neq = 9$ .

Відповідь:

1) $a \neq = 1$ , $a \neq = - 3, 5$ ; 2) $t \neq = 0$ , $t \neq = 7$ ; 3) $m \neq = \pm 5$ ; 4) $x \neq = 9$ .

Завдання 1.16

Допустимі значення: розклад знаменника (ще)

Знайдіть допустимі значення змінної: 1) $\frac{p - 7}{( 9 - p ) ( 4 p + 10 )}$ ; 2) $\frac{a + 2}{5 a - a ^{2}}$ ; 3) $\frac{c}{4 - c ^{2}}$ ; 4) $\frac{a}{( a + 1 ) ^{2}}$ .

Розв’язання

1) $p \neq = 9$ , $4 p + 10 \neq = 0 \Rightarrow p \neq = - 2, 5$ .
2) $5 a - a^{2} = a (5 - a)$ : $a \neq = 0$ , $a \neq = 5$ .
3) $4 - c^{2} = (2 - c) (2 + c)$ : $c \neq = \pm 2$ .
4) $a \neq = - 1$ .

Відповідь:

1) $p \neq = 9$ , $p \neq = - 2, 5$ ; 2) $a \neq = 0$ , $a \neq = 5$ ; 3) $c \neq = \pm 2$ ; 4) $a \neq = - 1$ .

Завдання 1.17

Вираз із заданими недопустимими значеннями

Складіть вираз зі змінною x, що має зміст для всіх x, крім: 1) x = 2; 2) x = 1 і x = −4.

Розв’язання

1) Наприклад, $\frac{1}{x - 2}$ .
2) Наприклад, $\frac{1}{( x - 1 ) ( x + 4 )}$ .
Підходить будь-який чисельник, а знаменник має містити лише ці нулі.

Відповідь:

Наприклад: 1) $\frac{1}{x - 2}$ ; 2) $\frac{1}{( x - 1 ) ( x + 4 )}$ .

Завдання 1.18

Допустимі значення: модулі й багатоповерхові дроби

Знайдіть допустимі значення змінної: 1) $\frac{37}{a ( a - 2 ) - 3 a + 6}$ ; 2) $\frac{x}{∣ x ∣ - 1}$ ; 3) $\frac{5 m}{1 - \frac{1}{m}}$ ; 4) $\frac{4 k}{4 - ∣ k - 2∣}$ .

Розв’язання

1) $a (a - 2) - 3 a + 6 = a (a - 2) - 3 (a - 2) = (a - 2) (a - 3)$ . Отже, $a \neq = 2$ , $a \neq = 3$ .
2) $∣ x ∣ \neq = 1$ : $x \neq = \pm 1$ .
3) $m \neq = 0$ (внутрішній знаменник) і $1 - \frac{1}{m} \neq = 0$ , тобто $m \neq = 1$ .
4) $∣ k - 2∣ \neq = 4$ : $k - 2 \neq = 4$ і $k - 2 \neq = - 4$ , тобто $k \neq = 6$ , $k \neq = - 2$ .

Відповідь:

1) $a \neq = 2$ , $a \neq = 3$ ; 2) $x \neq = \pm 1$ ; 3) $m \neq = 0$ , $m \neq = 1$ ; 4) $k \neq = 6$ , $k \neq = - 2$ .

Завдання 1.19

Область визначення виразу

Знайдіть область визначення: 1) $\frac{12}{x ( x + 2 ) - 4 x - 8}$ ; 2) $\frac{m}{4 - ∣ m ∣}$ ; 3) $\frac{7}{\frac{1}{x} + 1}$ ; 4) $\frac{2 a}{∣ a + 2∣ - 3}$ .

Розв’язання

1) $x (x + 2) - 4 (x + 2) = (x + 2) (x - 4)$ : $x \neq = - 2$ , $x \neq = 4$ .
2) $∣ m ∣ \neq = 4$ : $m \neq = \pm 4$ .
3) $x \neq = 0$ і $\frac{1}{x} \neq = - 1$ , тобто $x \neq = - 1$ .
4) $∣ a + 2∣ \neq = 3$ : $a + 2 \neq = 3$ і $a + 2 \neq = - 3$ , тобто $a \neq = 1$ , $a \neq = - 5$ .

Відповідь:

1) $x \neq = - 2$ , $x \neq = 4$ ; 2) $m \neq = \pm 4$ ; 3) $x \neq = 0$ , $x \neq = - 1$ ; 4) $a \neq = 1$ , $a \neq = - 5$ .

Завдання 1.20

Знак дробу

Визначте знак дробу: 1) $\frac{x ^{7}}{y ^{8}}$ , $x > 0$ , $y < 0$ ; 2) $\frac{m + 1}{n ^{7}}$ , $m > 0$ , $n < 0$ ; 3) $\frac{∣ p - 1∣}{n ^{19}}$ , $p < 0$ , $n > 0$ ; 4) $\frac{∣ a ∣ + 1}{c ^{8}}$ , $a < 0$ , $c < 0$ .

Розв’язання

1) $x^{7} > 0$ , $y^{8} > 0$ — дріб додатний.
2) $m + 1 > 0$ , $n^{7} < 0$ — дріб від’ємний.
3) $p - 1 < 0$ , тож $∣ p - 1∣ > 0$ ; $n^{19} > 0$ — дріб додатний.
4) $∣ a ∣ + 1 > 0$ , $c^{8} > 0$ — дріб додатний.

Відповідь:

1) додатний; 2) від’ємний; 3) додатний; 4) додатний.