ГДЗ · Алгебра · 8 клас

Сторінка 177

Алгебра, Істер, 2025 · № 21.1–21.11 · 11 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 21. Формула коренів квадратного рівняння

Завдання 21.1

Кількість коренів за D (усно)

1) D = 4; 2) D = 0; 3) D = −9; 4) D = 17.

Розв’язання

1) два; 2) один; 3) жодного; 4) два.

Відповідь:

2; 1; 0; 2.

Завдання 21.2

Чи має корені за D

1) −7; 2) 49; 3) 13; 4) 0.

Розв’язання

1) немає; 2) два; 3) два; 4) один.

Відповідь:

0; 2; 2; 1.

Завдання 21.3

Чи правильно записано D (усно)

1) $2 x^{2} + 3 x - 1 = 0$ , $D = 3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1$ ; 2) $3 x^{2} - 4 x + 2 = 0$ , $D = (- 4)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2$ ; 3) $- \frac{1}{2} x^{2} - 5 x + 3 = 0$ , $D = (- 5)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- \frac{1}{2})$ ; 4) $\frac{1}{8} x^{2} + 2 x - 4 = 0$ , $D = 2^{2} + 4 \cdot \frac{1}{8} \cdot (- 4)$ ?

Розв’язання

1) Ні: c = −1, має бути $3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1)$ .
2) Так.
3) Так (множники переставлено, значення те саме).
4) Ні: має бути $2^{2} - 4 \cdot \frac{1}{8} \cdot (- 4)$ .

Відповідь:

2) і 3) правильні; 1) і 4) — ні.

Завдання 21.4

Дискримінант і кількість коренів (1)

1) $6 x^{2} - 5 x - 1 = 0$ ; 2) $x^{2} - 4 x + 4 = 0$ ; 3) $x^{2} + 2 x + 5 = 0$ ; 4) $7 x^{2} + 2 x - 1 = 0$ .

Розв’язання

1) D = 25 + 24 = 49 — два корені; 2) D = 0 — один.
3) D = 4 − 20 = −16 — немає; 4) D = 4 + 28 = 32 — два.

Відповідь:

49, 2 | 0, 1 | −16, 0 | 32, 2.

Завдання 21.5

Дискримінант і кількість коренів (2)

1) $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ ; 2) $x^{2} + x + 7 = 0$ ; 3) $x^{2} + 6 x + 9 = 0$ ; 4) $3 x^{2} + 4 x - 1 = 0$ .

Розв’язання

1) D = 9 + 8 = 17 — два; 2) D = 1 − 28 = −27 — немає.
3) D = 0 — один; 4) D = 16 + 12 = 28 — два.

Відповідь:

17, 2 | −27, 0 | 0, 1 | 28, 2.

Завдання 21.6

Розв’язати за формулою (1)

1) $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ ; 2) $2 x^{2} + 5 x - 3 = 0$ ; 3) $3 x^{2} + 5 x + 2 = 0$ ; 4) $x^{2} + 10 x + 25 = 0$ ; 5) $x^{2} + x - 90 = 0$ ; 6) $x^{2} - 10 x - 24 = 0$ .

Розв’язання

1) $D = 1$ , $x = \frac{5 \pm 1}{2}$ : 2; 3.
2) $D = 49$ , $x = \frac{- 5 \pm 7}{4}$ : −3; $\frac{1}{2}$ .
3) $D = 1$ , $x = \frac{- 5 \pm 1}{6}$ : −1; $- \frac{2}{3}$ .
4) $D = 0$ : −5.
5) $D = 361$ , $x = \frac{- 1 \pm 19}{2}$ : −10; 9.
6) $D = 196$ , $x = \frac{10 \pm 14}{2}$ : −2; 12.

Відповідь:

2; 3 | −3; 1/2 | −1; −2/3 | −5 | −10; 9 | −2; 12.

Завдання 21.7

Розв’язати за формулою (2)

1) $x^{2} - 4 x - 5 = 0$ ; 2) $2 x^{2} + 7 x - 4 = 0$ ; 3) $x^{2} - 12 x + 36 = 0$ ; 4) $x^{2} - x - 56 = 0$ .

Розв’язання

1) $D = 36$ , $\frac{4 \pm 6}{2}$ : −1; 5.
2) $D = 81$ , $\frac{- 7 \pm 9}{4}$ : −4; $\frac{1}{2}$ .
3) D = 0: 6.
4) $D = 225$ , $\frac{1 \pm 15}{2}$ : −7; 8.

Відповідь:

−1; 5 | −4; 1/2 | 6 | −7; 8.

Завдання 21.8

Спершу до стандартного вигляду (1)

1) $10 x^{2} = 5 x + 0, 6$ ; 2) $x^{2} + 3 = 4 x$ ; 3) $x^{2} + 5 x = - 6$ ; 4) $1 - 4 x = 5 x^{2}$ ; 5) $81 y^{2} + 1 = - 18 y$ ; 6) $3 p = 5 p^{2} - 2$ .

Розв’язання

1) $50 x^{2} - 25 x - 3 = 0$ , $D = 1225$ , $x = \frac{25 \pm 35}{100}$ : 0,6; −0,1.
2) $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ , $D = 4$ : 1; 3.
3) $x^{2} + 5 x + 6 = 0$ , $D = 1$ : −3; −2.
4) $5 x^{2} + 4 x - 1 = 0$ , $D = 36$ , $\frac{- 4 \pm 6}{10}$ : 0,2; −1.
5) $81 y^{2} + 18 y + 1 = 0$ , $D = 0$ : $y = - \frac{1}{9}$ .
6) $5 p^{2} - 3 p - 2 = 0$ , $D = 49$ , $\frac{3 \pm 7}{10}$ : 1; −0,4.

Відповідь:

0,6; −0,1 | 1; 3 | −3; −2 | 0,2; −1 | −1/9 | 1; −0,4.

Завдання 21.9

Спершу до стандартного вигляду (2)

1) $10 x^{2} = 0, 4 - 3 x$ ; 2) $x^{2} + 7 = - 8 x$ ; 3) $7 x = x^{2} + 12$ ; 4) $4 y = 4 y^{2} + 1$ .

Розв’язання

1) $50 x^{2} + 15 x - 2 = 0$ , $D = 625$ , $\frac{- 15 \pm 25}{100}$ : 0,1; −0,4.
2) $x^{2} + 8 x + 7 = 0$ , $D = 36$ : −1; −7.
3) $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ , $D = 1$ : 3; 4.
4) $4 y^{2} - 4 y + 1 = 0$ , $D = 0$ : $\frac{1}{2}$ .

Відповідь:

0,1; −0,4 | −1; −7 | 3; 4 | 1/2.

Завдання 21.10

Для яких x (1)

1) $x^{2} - 2 x - 3$ дорівнює нулю; 2) $x^{2} + 2 x$ і $0, 5 x + 2, 5$ рівні; 3) $10 x^{2} - 8 x$ дорівнює $9 x^{2} + 2 x - 25$ .

Розв’язання

1) $D = 16$ : −1; 3.
2) $x^{2} + 1, 5 x - 2, 5 = 0 \Rightarrow 2 x^{2} + 3 x - 5 = 0$ , $D = 49$ : 1; −2,5.
3) $x^{2} - 10 x + 25 = 0$ , $(x - 5)^{2} = 0$ : 5.

Відповідь:

−1; 3 | 1; −2,5 | 5.

Завдання 21.11

Для яких y (2)

1) $y^{2} + 4 y - 5$ дорівнює нулю; 2) $y^{2} - 3 y$ і $0, 5 y + 4, 5$ рівні; 3) $4 + 2 y - y^{2}$ дорівнює $4 y^{2} - 6 y$ .

Розв’язання

1) $D = 36$ : 1; −5.
2) $2 y^{2} - 7 y - 9 = 0$ , $D = 121$ , $\frac{7 \pm 11}{4}$ : 4,5; −1.
3) $5 y^{2} - 8 y - 4 = 0$ , $D = 144$ , $\frac{8 \pm 12}{10}$ : 2; −0,4.

Відповідь:

1; −5 | 4,5; −1 | 2; −0,4.