ГДЗ · Алгебра · 8 клас

Сторінка 29

Алгебра, Істер, 2025 · № 3.12–3.20 · 9 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 3. Додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками

Завдання 3.12

Протилежні знаменники

1) $\frac{a}{x - 1} + \frac{5}{1 - x}$ ; 2) $\frac{m}{c - 3} - \frac{p}{3 - c}$ ; 3) $\frac{5 x}{x - y} + \frac{5 y}{y - x}$ ; 4) $\frac{10 p}{2 p - m} + \frac{5 m}{m - 2 p}$ .

Розв’язання

1) $\frac{a}{x - 1} - \frac{5}{x - 1} = \frac{a - 5}{x - 1}$ .
2) $\frac{m}{c - 3} + \frac{p}{c - 3} = \frac{m + p}{c - 3}$ .
3) $\frac{5 x - 5 y}{x - y} = 5$ .
4) $\frac{10 p - 5 m}{2 p - m} = \frac{5 ( 2 p - m )}{2 p - m} = 5$ .

Відповідь:

1) $\frac{a - 5}{x - 1}$ ; 2) $\frac{m + p}{c - 3}$ ; 3) $5$ ; 4) $5$ .

Завдання 3.13

Протилежні знаменники (ще)

1) $\frac{c}{a - 2} + \frac{x}{2 - a}$ ; 2) $\frac{a}{x - y} - \frac{8}{y - x}$ ; 3) $\frac{2 m}{m - n} + \frac{2 n}{n - m}$ ; 4) $\frac{16 x}{4 x - y} + \frac{4 y}{y - 4 x}$ .

Розв’язання

1) $\frac{c - x}{a - 2}$ ; 2) $\frac{a + 8}{x - y}$ .
3) $\frac{2 m - 2 n}{m - n} = 2$ ; 4) $\frac{16 x - 4 y}{4 x - y} = 4$ .

Відповідь:

1) $\frac{c - x}{a - 2}$ ; 2) $\frac{a + 8}{x - y}$ ; 3) $2$ ; 4) $4$ .

Завдання 3.14

Дія і скорочення

1) $\frac{m ^{2} - m}{m ^{2} + 4 m + 4} - \frac{4 - m}{m ^{2} + 4 m + 4}$ ; 2) $\frac{9 c}{c ^{2} - 6 c} - \frac{18 + 6 c}{c ^{2} - 6 c}$ .

Розв’язання

1) $\frac{m ^{2} - m - 4 + m}{( m + 2 ) ^{2}} = \frac{( m - 2 ) ( m + 2 )}{( m + 2 ) ^{2}} = \frac{m - 2}{m + 2}$ .
2) $\frac{9 c - 18 - 6 c}{c ( c - 6 )} = \frac{3 ( c - 6 )}{c ( c - 6 )} = \frac{3}{c}$ .

Відповідь:

1) $\frac{m - 2}{m + 2}$ ; 2) $\frac{3}{c}$ .

Завдання 3.15

Знайти різницю

1) $\frac{a ^{2} + 3 a}{a ^{2} + 6 a + 9} - \frac{3 a + 9}{a ^{2} + 6 a + 9}$ ; 2) $\frac{3 m}{m ^{2} - 5 m} - \frac{m + 10}{m ^{2} - 5 m}$ .

Розв’язання

1) $\frac{a ^{2} - 9}{( a + 3 ) ^{2}} = \frac{( a - 3 ) ( a + 3 )}{( a + 3 ) ^{2}} = \frac{a - 3}{a + 3}$ .
2) $\frac{2 m - 10}{m ( m - 5 )} = \frac{2 ( m - 5 )}{m ( m - 5 )} = \frac{2}{m}$ .

Відповідь:

1) $\frac{a - 3}{a + 3}$ ; 2) $\frac{2}{m}$ .

Завдання 3.16

Довести тотожність

1) $\frac{( a - b ) ^{2}}{2 ab} - \frac{( a + b ) ^{2}}{2 ab} = - 2$ ; 2) $\frac{( a + b ) ^{2}}{a ^{2} + b ^{2}} + \frac{( a - b ) ^{2}}{a ^{2} + b ^{2}} = 2$ .

Розв’язання

1) $\frac{( a - b ) ^{2} - ( a + b ) ^{2}}{2 ab} = \frac{- 4 ab}{2 ab} = - 2$ (при $a \neq = 0$ , $b \neq = 0$ ).
2) $\frac{2 ( a ^{2} + b ^{2} )}{a ^{2} + b ^{2}} = 2$ (при $a^{2} + b^{2} \neq = 0$ ).

Відповідь:

Обидві тотожності доведено.

Завдання 3.17

Значення виразу після спрощення

1) $\frac{m ^{2}}{2 m - 10} + \frac{25}{10 - 2 m}$ при $m = 25$ ; 2) $\frac{x ^{2} + 9 y ^{2}}{x - 3 y} + \frac{6 x y}{3 y - x}$ при $x = 2026$ , $y = \frac{1}{3}$ .

Розв’язання

1) $\frac{m ^{2} - 25}{2 ( m - 5 )} = \frac{m + 5}{2}$ ; при $m = 25$ : $15$ .
2) $\frac{x ^{2} - 6 x y + 9 y ^{2}}{x - 3 y} = \frac{( x - 3 y ) ^{2}}{x - 3 y} = x - 3 y$ ; $2026 - 1 = 2025$ .

Відповідь:

1) 15; 2) 2025.

Завдання 3.18

Обчислити зручно

1) $\frac{x ^{2}}{3 x - 18} + \frac{36}{18 - 3 x}$ при $x = - 12$ ; 2) $\frac{c ^{2}}{c - 5 k} - \frac{25 k ^{2} - 10 c k}{5 k - c}$ при $c = 199$ , $k = 0, 2$ .

Розв’язання

1) $\frac{x ^{2} - 36}{3 ( x - 6 )} = \frac{x + 6}{3}$ ; при $x = - 12$ : $\frac{- 6}{3} = - 2$ .
2) $\frac{c ^{2} + 25 k ^{2} - 10 c k}{c - 5 k} = \frac{( c - 5 k ) ^{2}}{c - 5 k} = c - 5 k$ ; $199 - 1 = 198$ .

Відповідь:

1) −2; 2) 198.

Завдання 3.19

Цілий вираз + дріб

Подайте у вигляді суми або різниці цілого виразу і дробу: 1) $\frac{m + 3}{m}$ ; 2) $\frac{a ^{4} + a ^{3} - 5}{a ^{2}}$ ; 3) $\frac{x ^{2} + 5 x - 3}{x + 5}$ ; 4) $\frac{4 a - 4 b + 7}{a - b}$ .

Розв’язання

1) $1 + \frac{3}{m}$ .
2) $a^{2} + a - \frac{5}{a ^{2}}$ .
3) $\frac{x ( x + 5 )}{x + 5} - \frac{3}{x + 5} = x - \frac{3}{x + 5}$ .
4) $\frac{4 ( a - b )}{a - b} + \frac{7}{a - b} = 4 + \frac{7}{a - b}$ .

Відповідь:

1) $1 + \frac{3}{m}$ ; 2) $a^{2} + a - \frac{5}{a ^{2}}$ ; 3) $x - \frac{3}{x + 5}$ ; 4) $4 + \frac{7}{a - b}$ .

Завдання 3.20

Цілий вираз + дріб (ще)

1) $\frac{a - 7}{a}$ ; 2) $\frac{m ^{2} - m ^{3} + 7}{m ^{2}}$ ; 3) $\frac{y ^{2} + y + 2}{y + 1}$ ; 4) $\frac{5 p - 5 q - 1}{p - q}$ .

Розв’язання

1) $1 - \frac{7}{a}$ ; 2) $1 - m + \frac{7}{m ^{2}}$ .
3) $y + \frac{2}{y + 1}$ ; 4) $5 - \frac{1}{p - q}$ .

Відповідь:

1) $1 - \frac{7}{a}$ ; 2) $1 - m + \frac{7}{m ^{2}}$ ; 3) $y + \frac{2}{y + 1}$ ; 4) $5 - \frac{1}{p - q}$ .