ГДЗ · Алгебра · 8 клас

Сторінка 58

Алгебра, Істер, 2025 · № 7.19–7.26 · 8 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 7. Тотожні перетворення раціональних виразів

Завдання 7.19

Квадрати сум і різниць дробів

1) $(\frac{m}{n} - \frac{n}{m})^{2}$ ; 2) $(\frac{a ^{2}}{b} - 1)^{2} + (\frac{a ^{2}}{b} + 1)^{2}$ ; 3) $(\frac{x}{y ^{2}} - \frac{y}{x ^{2}})^{2} + (\frac{x}{y ^{2}} + \frac{y}{x ^{2}})^{2}$ ; 4) $(\frac{a + b}{a} + \frac{a - b}{b})^{2} - (\frac{a + b}{a} - \frac{a - b}{b})^{2}$ .

Розв’язання

1) $\frac{m ^{2}}{n ^{2}} - 2 + \frac{n ^{2}}{m ^{2}} = \frac{( m ^{2} - n ^{2} ) ^{2}}{m ^{2} n ^{2}}$ .
2) $2 (\frac{a ^{4}}{b ^{2}} + 1) = \frac{2 ( a ^{4} + b ^{2} )}{b ^{2}}$ .
3) $2 (\frac{x ^{2}}{y ^{4}} + \frac{y ^{2}}{x ^{4}}) = \frac{2 ( x ^{6} + y ^{6} )}{x ^{4} y ^{4}}$ .
4) $4 \cdot \frac{a + b}{a} \cdot \frac{a - b}{b} = \frac{4 ( a ^{2} - b ^{2} )}{ab}$ .

Відповідь:

1) $\frac{( m ^{2} - n ^{2} ) ^{2}}{m ^{2} n ^{2}}$ ; 2) $\frac{2 ( a ^{4} + b ^{2} )}{b ^{2}}$ ; 3) $\frac{2 ( x ^{6} + y ^{6} )}{x ^{4} y ^{4}}$ ; 4) $\frac{4 ( a ^{2} - b ^{2} )}{ab}$ .

Завдання 7.20

Перетворити на дріб

1) $(\frac{x}{y} + \frac{y}{x})^{2}$ ; 2) $(\frac{m}{n ^{2}} + 1)^{2} - (\frac{m}{n ^{2}} - 1)^{2}$ .

Розв’язання

1) $\frac{x ^{2}}{y ^{2}} + 2 + \frac{y ^{2}}{x ^{2}} = \frac{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}}{x ^{2} y ^{2}}$ .
2) $4 \cdot \frac{m}{n ^{2}} \cdot 1 = \frac{4 m}{n ^{2}}$ .

Відповідь:

1) $\frac{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}}{x ^{2} y ^{2}}$ ; 2) $\frac{4 m}{n ^{2}}$ .

Завдання 7.21

Багатоповерхові дроби (1)

1) $\frac{1 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}}$ ; 2) $\frac{\frac{7 x - a}{a} + 1}{\frac{7 x + a}{a} - 1}$ ; 3) $\frac{\frac{1}{p} - \frac{1}{2 p}}{\frac{1}{p ^{2}} - \frac{1}{2 p ^{2}}}$ ; 4) $\frac{c - \frac{6 c - 9}{c}}{\frac{3}{c} - 1}$ ; 5) $\frac{\frac{x}{x - 1} - \frac{x + 1}{x}}{\frac{x}{x + 1} - \frac{x - 1}{x}}$ ; 6) $\frac{\frac{1}{n - m} - \frac{1}{n + m}}{\frac{1}{n - m} + \frac{1}{n + m}}$ .

Розв’язання

1) Множимо на $x$ : $\frac{x - 1}{x + 1}$ . 2) $\frac{7 x / a}{7 x / a} = 1$ .
3) $\frac{1/ ( 2 p )}{1/ ( 2 p ^{2} )} = p$ . 4) $\frac{( c - 3 ) ^{2} / c}{( 3 - c ) / c} = 3 - c$ .
5) Верх $\frac{1}{x ( x - 1 )}$ , низ $\frac{1}{x ( x + 1 )}$ : $\frac{x + 1}{x - 1}$ .
6) Верх $\frac{2 m}{n ^{2} - m ^{2}}$ , низ $\frac{2 n}{n ^{2} - m ^{2}}$ : $\frac{m}{n}$ .

Відповідь:

1) $\frac{x - 1}{x + 1}$ ; 2) $1$ ; 3) $p$ ; 4) $3 - c$ ; 5) $\frac{x + 1}{x - 1}$ ; 6) $\frac{m}{n}$ .

Завдання 7.22

Багатоповерхові дроби (2)

1) $\frac{1 + \frac{4}{m}}{1 - \frac{4}{m}}$ ; 2) $\frac{\frac{3 p + m}{m} - 1}{\frac{3 p - m}{m} + 1}$ ; 3) $\frac{\frac{1}{4 t} + \frac{1}{t}}{\frac{1}{4 t ^{2}} + \frac{1}{t ^{2}}}$ ; 4) $\frac{1 - \frac{1}{x}}{x - \frac{2 x - 1}{x}}$ ; 5) $\frac{\frac{m}{2 - m} + \frac{2 + m}{m}}{\frac{m}{2 + m} + \frac{2 - m}{m}}$ ; 6) $\frac{\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2}}{\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2}}$ .

Розв’язання

1) $\frac{m + 4}{m - 4}$ ; 2) $\frac{3 p / m}{3 p / m} = 1$ ; 3) $\frac{5/ ( 4 t )}{5/ ( 4 t ^{2} )} = t$ .
4) $\frac{( x - 1 ) / x}{( x - 1 ) ^{2} / x} = \frac{1}{x - 1}$ .
5) Верх $\frac{4}{m ( 2 - m )}$ , низ $\frac{4}{m ( 2 + m )}$ : $\frac{2 + m}{2 - m}$ .
6) Верх $\frac{2 x}{x ^{2} - 4}$ , низ $\frac{4}{x ^{2} - 4}$ : $\frac{x}{2}$ .

Відповідь:

1) $\frac{m + 4}{m - 4}$ ; 2) $1$ ; 3) $t$ ; 4) $\frac{1}{x - 1}$ ; 5) $\frac{2 + m}{2 - m}$ ; 6) $\frac{x}{2}$ .

Завдання 7.23

Не залежить від змінних (десяткові)

Доведіть, що $\frac{8}{4 a - b} : (\frac{2 a - 0 , 5 b}{4 a ^{2} + ab + 0 , 25 b ^{2}} + \frac{24 ab}{64 a ^{3} - b ^{3}} + \frac{1}{2 a - 0 , 5 b})$ не залежить від змінних.

Розв’язання

Дужка: $\frac{u - v}{u ^{2} + uv + v ^{2}} + \frac{3 uv}{u ^{3} - v ^{3}} + \frac{1}{u - v} = \frac{( u - v ) ^{2} + 3 uv + u ^{2} + uv + v ^{2}}{u ^{3} - v ^{3}} = \frac{2 ( u ^{2} + uv + v ^{2} )}{u ^{3} - v ^{3}} = \frac{2}{u - v}$ .
$4 a - b = 2 (u - v)$ , тож $\frac{8}{4 a - b} = \frac{4}{u - v}$ .
$\frac{4}{u - v} : \frac{2}{u - v} = 2$ .

Відповідь:

Значення завжди 2.

Завдання 7.24

Значення при a = 197

Знайдіть $(\frac{1 , 5 a - 4}{0 , 5 a ^{2} - a + 2} - \frac{2 a - 14}{0 , 5 a ^{3} + 4} + \frac{1}{a + 2}) : \frac{4}{a + 2}$ при $a = 197$ .

Розв’язання

$\frac{3 a - 8}{a ^{2} - 2 a + 4} - \frac{4 a - 28}{a ^{3} + 8} + \frac{1}{a + 2}$ .
Над $a^{3} + 8$ : $(3 a - 8) (a + 2) - (4 a - 28) + (a^{2} - 2 a + 4) = 4 (a^{2} - 2 a + 4)$ , тобто дужка $\frac{4}{a + 2}$ .
$\frac{4}{a + 2} : \frac{4}{a + 2} = 1$ — для будь-якого допустимого $a$ , зокрема 197.

Відповідь:

Завдання 7.25

x² + 1/x², якщо x − 1/x = 7

Відомо, що $x - \frac{1}{x} = 7$ . Знайдіть $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ .

Розв’язання

$x^{2} - 2 + \frac{1}{x ^{2}} = 49$ .
$x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 51$ .

Відповідь:

51.

Завдання 7.26

x² + 1/x², якщо x + 1/x = 3

Знайдіть $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ , якщо $x + \frac{1}{x} = 3$ .

Розв’язання

$x^{2} + 2 + \frac{1}{x ^{2}} = 9$ , тож $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 7$ .

Відповідь: