ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 122

Алгебра, Істер О. С., Істер Д. О., 2026 · № 12.45–12.54 · 10 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 12. Квадратна нерівність

Завдання 12.45

Розв’язок — будь-яке число

1) $x^{2} - (m + 2) x + (8 m + 1) > 0$ ; 2) $m x^{2} - 4 x + m + 3 < 0$ .

Розв’язання

1) $D = (m + 2)^{2} - 4 (8 m + 1) = m^{2} - 28 m < 0$ : $0 < m < 28$ .
2) Потрібно $m < 0$ і $D = 16 - 4 m (m + 3) < 0$ , тобто $m^{2} + 3 m - 4 > 0$ : $m < - 4$ або $m > 1$ . З урахуванням $m < 0$ : $m < - 4$ (при m = 0 нерівність $- 4 x + 3 < 0$ виконується не для всіх x).

Відповідь:

1) 0 < m < 28; 2) m < −4.

Завдання 12.46

Графік y = −x² + 2x + 8

Знайдіть за графіком: 1) область значень; 2) проміжок зростання.

Розв’язання

Вершина (1; 9), нулі −2 і 4, гілки вниз.
1) (−∞; 9]; 2) (−∞; 1].

Відповідь:

(−∞; 9]; (−∞; 1].

Завдання 12.47

Нерівність з двома змінними

Доведіть, що $26 x^{2} - 10 x + 2 x y + y^{2} + 2 > 0$ для будь-яких x, y.

Розв’язання

$(x + y)^{2} + 25 x^{2} - 10 x + 1 + 1 = (x + y)^{2} + (5 x - 1)^{2} + 1 ⩾ 1 > 0$ .

Відповідь:

Доведено.

Завдання 12.48

Корені кубічного рівняння

Одним з коренів $x^{3} - 2 x^{2} - x + a = 0$ є −1. Знайдіть решту коренів.

Розв’язання

−1 − 2 + 1 + a = 0, a = 2.
$x^{3} - 2 x^{2} - x + 2 = x^{2} (x - 2) - (x - 2) = (x - 2) (x - 1) (x + 1)$ .

Відповідь:

1 і 2.

Завдання 12.49

Життєва математика: курс ліків

Діючу речовину приймати по 0,5 г 3 рази на добу 14 днів. В упаковці 10 пігулок по 0,25 г. Скільки упаковок потрібно?

Розв’язання

0,5 · 3 · 14 = 21 г, тобто 21 : 0,25 = 84 пігулки.
84 : 10 = 8,4 — потрібно 9 упаковок.

Відповідь:

9 упаковок.

Завдання 12.50

Чи є (−1; 2) розв’язком системи

1) $x + 3 y = 5$ , $4 x - 5 y = - 14$ ; 2) $3 y - x = 7$ , $4 x + 5 y = 5$ .

Розв’язання

1) 5 = 5, −14 = −14 — так.
2) 7 = 7, але 6 ≠ 5 — ні.

Відповідь:

1) так; 2) ні.

Завдання 12.51

Розв’язати систему графічно

1) $2 x + 7 y = - 3$ , $3 x - y = 7$ ; 2) $x + 5 y = - 16$ , $3 x - 2 y = 3$ .

Розв’язання

1) Прямі перетинаються в (2; −1).
2) У (−1; −3).

Відповідь:

(2; −1); (−1; −3).

Завдання 12.52

Спосіб підстановки

1) $x + 7 y = - 5$ , $3 x - 4 y = 10$ ; 2) $3 x + 4 y = - 19$ , $7 x - y = - 3$ .

Розв’язання

1) $3 (- 5 - 7 y) - 4 y = 10$ , $y = - 1$ , $x = 2$ .
2) $3 x + 4 (7 x + 3) = - 19$ , $x = - 1$ , $y = - 4$ .

Відповідь:

(2; −1); (−1; −4).

Завдання 12.53

Спосіб додавання

1) $3 x + 2 y = 2$ , $5 x - 2 y = - 18$ ; 2) $7 x + 5 y = 11$ , $3 x + 5 y = - 1$ .

Розв’язання

1) 8x = −16, x = −2, y = 4.
2) 4x = 12, x = 3, y = −2.

Відповідь:

(−2; 4); (3; −2).

Завдання 12.54

Цікава задача: раціональність коренів

a, b і $a + b$ раціональні. Чи раціональні $a$ і $b$ ?

Розв’язання

Якщо $r = a + b = 0$ , то $a = b = 0$ і корені раціональні.
Інакше $a - b = \frac{a - b}{r}$ — раціональне. Тоді $a = \frac{1}{2} (r + \frac{a - b}{r})$ і $b = r - a$ теж раціональні.

Відповідь:

Так.