ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 156

Алгебра, Істер О. С., Істер Д. О., 2026 · № 15.13–15.21 · 9 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 15. Числові послідовності

Завдання 15.13

Рекурентні послідовності (1)

1) $c_{1} = 8$ , $c_{n + 1} = c_{n} - 5$ ; 2) $c_{1} = - 3$ , $c_{n + 1} = 2 c_{n} + 3$ ; 3) $c_{1} = - 2$ , $c_{2} = 3$ , $c_{n + 2} = c_{n + 1} + c_{n}$ ; 4) $c_{1} = 0$ , $c_{2} = - 5$ , $c_{n + 2} = \frac{c _{n + 1}}{c _{n} + 1}$ .

Розв’язання

1) 8; 3; −2; −7; −12. 2) −3; −3; −3; −3; −3.
3) −2; 3; 1; 4; 5. 4) 0; −5; −5; $\frac{- 5}{- 4} = 1, 25$ ; $\frac{1 , 25}{- 4} = - 0, 3125$ .

Відповідь:

Див. кроки.

Завдання 15.14

Рекурентні послідовності (2)

1) $y_{1} = 5$ , $y_{n + 1} = 2 y_{n} - 7$ ; 2) $y_{1} = 16$ , $y_{2} = 1$ , $y_{n + 2} = \frac{y _{n}}{2 y _{n + 1}}$ .

Розв’язання

1) 5; 3; −1; −9; −25. 2) 16; 1; 8; $\frac{1}{16}$ ; 64.

Відповідь:

Див. кроки.

Завдання 15.15

Найбільший член

1) $a_{n} = 26 - n^{2}$ ; 2) $b_{n} = - 2 n^{2} + 16 n$ ; 3) $c_{n} = (- 1)^{n}$ ; 4) $y_{n} = - n^{2} + 5 n$ .

Розв’язання

1) Найбільший при n = 1: $a_{1} = 25$ .
2) Вершина n = 4: $b_{4} = 32$ .
3) $c_{2 k} = 1$ — при парних n.
4) Вершина 2,5: $y_{2} = y_{3} = 6$ .

Відповідь:

$a_{1} = 25$ ; $b_{4} = 32$ ; $c_{2 k} = 1$ ; $y_{2} = y_{3} = 6$ .

Завдання 15.16

Найменший член

1) $x_{n} = 2 n^{2} - 3$ ; 2) $a_{n} = n^{2} - 8 n - 5$ .

Розв’язання

1) $x_{1} = - 1$ ; 2) вершина n = 4: $a_{4} = - 21$ .

Відповідь:

$x_{1} = - 1$ ; $a_{4} = - 21$ .

Завдання 15.17

Немає найбільшого / найменшого

Доведіть: $p_{n} = 2 n^{2} + 6 n - 5$ не має найбільшого члена, а $t_{n} = - n^{2} - 4 n$ — найменшого.

Розв’язання

$p_{n + 1} - p_{n} = 4 n + 8 > 0$ — послідовність зростає і необмежена, тож найбільшого члена немає.
$t_{n + 1} - t_{n} = - 2 n - 5 < 0$ — спадає і необмежено зменшується, тож найменшого немає.

Відповідь:

Доведено.

Завдання 15.18

Подорожчання товару

Товар подорожчав зі 150 до 165 грн. На скільки відсотків?

Розв’язання

15 : 150 · 100 % = 10 %.

Відповідь:

10 %.

Завдання 15.19

Обчислити

$\frac{5 + 3}{5 - 3} + \frac{5 - 3}{5 + 3}$ .

Розв’язання

$\frac{14 + 6 5 + 14 - 6 5}{- 4} = - 7$ .

Відповідь:

−7.

Завдання 15.20

Система рівнянь

$x^{2} - 2 x y + y^{2} = 4$ , $x y + y^{2} = 4$ .

Розв’язання

$x = y + 2$ : $y (2 y + 2) = 4$ , y = 1 або −2: (3; 1), (0; −2).
$x = y - 2$ : $y (2 y - 2) = 4$ , y = 2 або −1: (0; 2), (−3; −1).

Відповідь:

(3; 1), (0; −2), (0; 2), (−3; −1).

Завдання 15.21

Життєва математика: лічильники води

Плата за воду зменшилася з 1120 до 700 грн на місяць. Два лічильники по 740 грн плюс встановлення по 240 грн. Через скільки місяців економія перевищить витрати?

Розв’язання

Витрати 1960 грн; 420n > 1960, n > 4,67.

Відповідь:

Через 5 місяців.