ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 33

Алгебра, Істер О. С., Істер Д. О., 2026 · № 3.4–3.19 · 16 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 3. Почленне додавання і множення нерівностей

Завдання 3.4

Почленне множення

Перемножте почленно: 1) $5 < 7$ і $1 < 10$ ; 2) $7 > 3$ і $5 > 1$ .

Розв’язання

1) $5 < 70$ .
2) $35 > 3$ .

Відповідь:

1) $5 < 70$ ; 2) $35 > 3$ .

Завдання 3.5

Чи можна перемножати (усно)

Чи отримаємо правильну нерівність, перемноживши почленно: 1) $- 2 < - 1$ і $5 < 17$ ; 2) $0 > - 3$ і $1 > - 5$ ?

Розв’язання

1) Отримали б $- 10 < - 17$ — це хибно (насправді $- 10 > - 17$ ).
2) Отримали б $0 > 15$ — хибно.
Причина: у нерівностях є недодатні частини, а для них правило почленного множення не діє.

Відповідь:

В обох випадках — ні.

Завдання 3.6

Оцінка суми

Оцініть $a + b$ , якщо: 1) $- 3 < a < 5$ і $0 < b < 7$ ; 2) $2 < a < 7$ і $- 10 < b < - 8$ .

Розв’язання

1) $- 3 + 0 < a + b < 5 + 7$ : $- 3 < a + b < 12$ .
2) $2 - 10 < a + b < 7 - 8$ : $- 8 < a + b < - 1$ .

Відповідь:

1) $- 3 < a + b < 12$ ; 2) $- 8 < a + b < - 1$ .

Завдання 3.7

Оцінка суми

Оцініть $m + n$ , якщо: 1) $3 < m < 7$ і $0 < n < 2$ ; 2) $- 3 < m < - 2$ і $- 5 < n < - 1$ .

Розв’язання

1) $3 < m + n < 9$ .
2) $- 8 < m + n < - 3$ .

Відповідь:

1) $3 < m + n < 9$ ; 2) $- 8 < m + n < - 3$ .

Завдання 3.8

Оцінка добутку

Оцініть $x y$ , якщо: 1) $1 < x < 2$ і $5 < y < 10$ ; 2) $3 < x < 4, 5$ і $1 < y < 10$ .

Розв’язання

1) $1 \cdot 5 < x y < 2 \cdot 10$ : $5 < x y < 20$ .
2) $3 \cdot 1 < x y < 4, 5 \cdot 10$ : $3 < x y < 45$ .

Відповідь:

1) $5 < x y < 20$ ; 2) $3 < x y < 45$ .

Завдання 3.9

Оцінка добутку

Оцініть $c d$ , якщо: 1) $2 < c < 10$ і $1, 5 < d < 2, 5$ ; 2) $\frac{1}{3} < c < 1$ і $3 < d < 8$ .

Розв’язання

1) $3 < c d < 25$ .
2) $\frac{1}{3} \cdot 3 < c d < 1 \cdot 8$ : $1 < c d < 8$ .

Відповідь:

1) $3 < c d < 25$ ; 2) $1 < c d < 8$ .

Завдання 3.10

Оцінка виразів з коренями

Відомо, що $1, 4 < 2 < 1, 5$ і $2, 2 < 5 < 2, 3$ . Оцініть: 1) $2 + 5$ ; 2) $10$ .

Розв’язання

1) $1, 4 + 2, 2 < 2 + 5 < 1, 5 + 2, 3$ : $3, 6 < 2 + 5 < 3, 8$ .
2) $1, 4 \cdot 2, 2 < 10 < 1, 5 \cdot 2, 3$ : $3, 08 < 10 < 3, 45$ .

Відповідь:

1) $3, 6 < 2 + 5 < 3, 8$ ; 2) $3, 08 < 10 < 3, 45$ .

Завдання 3.11

Оцінка виразу 3a + b

1) Оцініть $3 a + b$ , де $- 1 < a < 10$ , $2 < b < 16$ . 2) Найбільше ціле значення виразу вкаже кількість перемог Віталія Кличка за роки професійної кар’єри.

Розв’язання

$- 3 < 3 a < 30$ .
Додаємо $2 < b < 16$ : $- 1 < 3 a + b < 46$ .
Найбільше ціле значення — 45: саме стільки перемог (45) здобув Віталій Кличко на професійному рингу.

Відповідь:

1) $- 1 < 3 a + b < 46$ ; 2) 45.

Завдання 3.12

Оцінка виразу 2x + y

1) Оцініть $2 x + y$ , де $- 2 < x < 1$ , $2 < y < 7$ . 2) Найбільше ціле значення вкаже кількість медалей жіночої збірної України з шахів на всесвітніх олімпіадах.

Розв’язання

$- 4 < 2 x < 2$ .
Додаємо $2 < y < 7$ : $- 2 < 2 x + y < 9$ .
Найбільше ціле значення — 8 (кількість медалей перевір у додаткових джерелах).

Відповідь:

1) $- 2 < 2 x + y < 9$ ; 2) 8.

Завдання 3.13

Оцінка квадрата

Оцініть значення виразу $p^{2}$ , якщо $2 < p < 3$ .

Розв’язання

$2 \cdot 2 < p \cdot p < 3 \cdot 3$ .

Відповідь:

$4 < p^{2} < 9$ .

Завдання 3.14

Оцінка квадрата

Оцініть значення виразу $m^{2}$ , якщо $1 < m < 5$ .

Розв’язання

$1 < m^{2} < 25$ .

Відповідь:

$1 < m^{2} < 25$ .

Завдання 3.15

Які твердження правильні

Відомо, що $x > 3$ , $y > 4$ . Чи правильне: 1) $x + y > 7$ ; 2) $x + y > 6$ ; 3) $x + y > 8$ ; 4) $x y > 12$ ; 5) $x y > 13$ ; 6) $x y > 10$ ?

Розв’язання

Додаємо: $x + y > 7$ , отже 1) і 2) правильні.
3) Ні: при $x = 3, 1$ , $y = 4, 1$ сума $7, 2 < 8$ .
Множимо (частини додатні): $x y > 12$ , отже 4) і 6) правильні.
5) Ні: $3, 1 \cdot 4, 1 = 12, 71 < 13$ .

Відповідь:

Правильні 1, 2, 4, 6; неправильні 3 і 5.

Завдання 3.16

Чи можна стверджувати

Відомо, що $x < 3$ , $y < 4$ . Чи можна стверджувати, що $x y < 12$ ?

Розв’язання

Контрприклад: $x = - 10 < 3$ , $y = - 10 < 4$ , але $x y = 100 > 12$ .
Почленно множити можна лише нерівності з додатними частинами.

Відповідь:

Ні, не можна.

Завдання 3.17

Оцінка різниць

Відомо, що $- 3 < x < 4$ , $1 < y < 4$ . Оцініть: 1) $x - y$ ; 2) $3 x - y$ ; 3) $2 y - x$ ; 4) $2 x - 3 y$ .

Розв’язання

$- 4 < - y < - 1$ , $- 4 < - x < 3$ , $- 12 < - 3 y < - 3$ , $- 9 < 3 x < 12$ , $- 6 < 2 x < 8$ , $2 < 2 y < 8$ .
1) $x + (- y)$ : $- 7 < x - y < 3$ .
2) $- 13 < 3 x - y < 11$ .
3) $- 2 < 2 y - x < 11$ .
4) $- 18 < 2 x - 3 y < 5$ .

Відповідь:

1) $- 7 < x - y < 3$ ; 2) $- 13 < 3 x - y < 11$ ; 3) $- 2 < 2 y - x < 11$ ; 4) $- 18 < 2 x - 3 y < 5$ .

Завдання 3.18

Оцінка різниць

Відомо, що $- 2 < a < 0$ , $3 < b < 5$ . Оцініть: 1) $a - b$ ; 2) $2 a - b$ ; 3) $3 b - a$ ; 4) $4 a - 5 b$ .

Розв’язання

$- 5 < - b < - 3$ , $0 < - a < 2$ , $- 4 < 2 a < 0$ , $9 < 3 b < 15$ , $- 8 < 4 a < 0$ , $- 25 < - 5 b < - 15$ .
1) $- 7 < a - b < - 3$ .
2) $- 9 < 2 a - b < - 3$ .
3) $9 < 3 b - a < 17$ .
4) $- 33 < 4 a - 5 b < - 15$ .

Відповідь:

1) $- 7 < a - b < - 3$ ; 2) $- 9 < 2 a - b < - 3$ ; 3) $9 < 3 b - a < 17$ ; 4) $- 33 < 4 a - 5 b < - 15$ .

Завдання 3.19

Оцінка частки

Дано: $5 < a < 10$ , $1 < b < 2$ . Оцініть: 1) $\frac{a}{b}$ ; 2) $\frac{4 b}{3 a}$ .

Розв’язання

1) $\frac{1}{2} < \frac{1}{b} < 1$ , тому $5 \cdot \frac{1}{2} < \frac{a}{b} < 10 \cdot 1$ : $2, 5 < \frac{a}{b} < 10$ .
2) $4 < 4 b < 8$ ; $15 < 3 a < 30 \Rightarrow \frac{1}{30} < \frac{1}{3 a} < \frac{1}{15}$ .
$\frac{4}{30} < \frac{4 b}{3 a} < \frac{8}{15}$ , тобто $\frac{2}{15} < \frac{4 b}{3 a} < \frac{8}{15}$ .

Відповідь:

1) $2, 5 < \frac{a}{b} < 10$ ; 2) $\frac{2}{15} < \frac{4 b}{3 a} < \frac{8}{15}$ .