ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 35

Алгебра, Істер О. С., Істер Д. О., 2026 · № 3.31–3.39 · 9 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 3. Почленне додавання і множення нерівностей

Завдання 3.31

Задача на суміші

Змішали 6-відсотковий і 3-відсотковий розчини солі й отримали 300 г 4-відсоткового. По скільки грамів кожного розчину змішали?

Розв’язання

Тоді 3 %-го — $(300 - x)$ г; сіль: $0, 06 x + 0, 03 (300 - x) = 0, 04 \cdot 300$ .
$0, 03 x + 9 = 12$ , $x = 100$ .
3 %-го розчину: $300 - 100 = 200$ г.

Відповідь:

100 г 6-відсоткового і 200 г 3-відсоткового.

Завдання 3.32

Обчислення з коренями

Обчисліть: $\frac{5 - 2}{5 + 2} + \frac{5 + 2}{5 - 2}$ .

Розв’язання

$\frac{( 5 - 2 ) ^{2} + ( 5 + 2 ) ^{2}}{3}$ .
$(5 \mp 2)^{2} = 7 \mp 210$ , сума $= 14$ .
$\frac{14}{3} = 4 \frac{2}{3}$ .

Відповідь:

$4 \frac{2}{3}$ .

Завдання 3.33

Графік дробово-раціональної функції

Побудуйте графік функції $y = \frac{12 - 6 x}{x ^{2} - 2 x}$ .

Розв’язання

Область визначення: $x \neq = 0$ , $x \neq = 2$ .
$y = \frac{- 6 ( x - 2 )}{x ( x - 2 )} = - \frac{6}{x}$ .
Графік — гіпербола $y = - \frac{6}{x}$ у II і IV чвертях: точки $(1; - 6)$ , $(3; - 2)$ , $(6; - 1)$ , $(- 1; 6)$ , $(- 2; 3)$ , $(- 3; 2)$ , $(- 6; 1)$ .
Точку $(2; - 3)$ на графіку слід «виколоти» (порожній кружечок), бо $x = 2$ не входить в область визначення.

Відповідь:

Гіпербола $y = - \frac{6}{x}$ з виколотою точкою $(2; - 3)$ .

Завдання 3.34

Життєва математика: милі й кілометри

Спідометр показує милі за годину; 1 миля = 1609 м. 1) Яка швидкість у км/год, коли спідометр показує 60 миль/год (округліть до десятих)? 2) Яка абсолютна похибка, якщо множити покази на 1,6 при 70 милях/год?

Розв’язання

1) $60 \cdot 1, 609 = 96, 54 \approx 96, 5$ км/год.
2) Точно: $70 \cdot 1, 609 = 112, 63$ км/год; наближено: $70 \cdot 1, 6 = 112$ км/год.
Похибка: $∣112, 63 - 112∣ = 0, 63$ км/год.

Відповідь:

1) ≈ 96,5 км/год; 2) 0,63 км/год.

Завдання 3.35

Чи є 2 коренем рівняння

Чи є число 2 розв’язком рівняння: 1) $2 x - 1 = 5$ ; 2) $x^{2} + x = 6$ ; 3) $3 x - 7 = - 1$ ; 4) $x^{2} + x + 9 = 2 x + 7$ ; 5) $x^{3} + x^{2} + x = 14$ ; 6) $\frac{x + 8}{x - 1} = 10$ ?

Розв’язання

1) $3 \neq = 5$ — ні.
2) $4 + 2 = 6$ — так.
3) $6 - 7 = - 1$ — так.
4) $15 \neq = 11$ — ні.
5) $8 + 4 + 2 = 14$ — так.
6) $\frac{10}{1} = 10$ — так.

Відповідь:

Так — у рівняннях 2, 3, 5, 6; ні — у 1 і 4.

Завдання 3.36

Перевірка нерівності

Чи правильна нерівність $25 - x > 20$ , якщо $x = - 5; 3; 5; 11$ ?

Розв’язання

$x = - 5$ : $30 > 20$ — так.
$x = 3$ : $22 > 20$ — так.
$x = 5$ : $20 > 20$ — ні.
$x = 11$ : $14 > 20$ — ні.

Відповідь:

Правильна при $x = - 5$ і $x = 3$ .

Завдання 3.37

Підбір розв’язків нерівностей

Доберіть два значення $x$ , за яких нерівність правильна: 1) $x ⩾ 5$ ; 2) $x < - 2$ ; 3) $x + 7 > 9$ ; 4) $x - 3 ⩽ 0$ ; 5) $2 x ⩾ 9$ ; 6) $- 3 x < - 12$ .

Розв’язання

1) $x = 5$ , $x = 10$ .
2) $x = - 3$ , $x = - 10$ .
3) $x > 2$ : $x = 3$ , $x = 5$ .
4) $x ⩽ 3$ : $x = 3$ , $x = 0$ .
5) $x ⩾ 4, 5$ : $x = 5$ , $x = 6$ .
6) $x > 4$ : $x = 5$ , $x = 10$ .

Відповідь:

Наприклад: 1) 5 і 10; 2) −3 і −10; 3) 3 і 5; 4) 0 і 3; 5) 5 і 6; 6) 5 і 10.

Завдання 3.38

Додатні й невід’ємні вирази

Які вирази додатні для всіх значень змінної, а які — невід’ємні: 1) $x^{2}$ ; 2) $(x - 3)^{2} + 1$ ; 3) $(x + 5)^{2}$ ; 4) $(x + 7)^{2} + 11$ ?

Розв’язання

1) $x^{2} = 0$ при $x = 0$ — невід’ємний.
2) $(x - 3)^{2} + 1 ⩾ 1$ — завжди додатний.
3) $(x + 5)^{2} = 0$ при $x = - 5$ — невід’ємний.
4) $(x + 7)^{2} + 11 ⩾ 11$ — завжди додатний.

Відповідь:

Додатні для всіх x: 2 і 4; невід’ємні (можуть дорівнювати 0): 1 і 3.

Завдання 3.39

Олімпіадна задача (1962 р.)

Знайдіть значення виразу $a^{3} + b^{3} + 3 (a^{3} b + a b^{3}) + 6 (a^{3} b^{2} + a^{2} b^{3})$ , де $a$ і $b$ — корені рівняння $x^{2} - x + q = 0$ .

Розв’язання

$a^{3} + b^{3} = 1 - 3 q$ .
$a^{3} b + a b^{3} = ab (a^{2} + b^{2}) = q ((a + b)^{2} - 2 ab) = q (1 - 2 q)$ .
$a^{3} b^{2} + a^{2} b^{3} = a^{2} b^{2} (a + b) = q^{2}$ .
Разом: $1 - 3 q + 3 q (1 - 2 q) + 6 q^{2} = 1 - 3 q + 3 q - 6 q^{2} + 6 q^{2} = 1$ .

Відповідь:

$1$ (при будь-якому $q$ ).