ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 59

Алгебра, Істер О. С., Істер Д. О., 2026 · № 7.33–7.42 · 10 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 7. Системи лінійних нерівностей

Завдання 7.33

Ціна ручки

Аліса купила записник за 80 грн і 5 ручок, заплативши менше ніж 114 грн. Аліна купила скетчбук за 72 грн і 4 такі самі ручки, заплативши більше ніж 92 грн. 1) Складіть систему для ціни ручки x. 2) Знайдіть x, якщо це ціле число гривень.

Розв’язання

1) ${80 + 5 x < 114 72 + 4 x > 92$
$x < 6, 8$ і $x > 5$ .
2) Ціле значення: $x = 6$ .

Відповідь:

6 грн.

Завдання 7.34

Корені менші від 1

За яких $a$ обидва корені рівняння $x^{2} - (a + 1) x - (a + 2 a^{2}) = 0$ менші від 1?

Розв’язання

$D = (a + 1)^{2} + 4 (a + 2 a^{2}) = 9 a^{2} + 6 a + 1 = (3 a + 1)^{2}$ .
Корені: $x = \frac{( a + 1 ) \pm ( 3 a + 1 )}{2}$ , тобто $x_{1} = 2 a + 1$ , $x_{2} = - a$ .
$2 a + 1 < 1 \Rightarrow a < 0$ ; $- a < 1 \Rightarrow a > - 1$ .

Відповідь:

$- 1 < a < 0$ .

Завдання 7.35

Корені більші за 3

За яких $a$ обидва корені рівняння $x^{2} - (2 a + 1) x + (a^{2} + a) = 0$ більші за 3?

Розв’язання

$D = (2 a + 1)^{2} - 4 (a^{2} + a) = 1$ .
Корені: $x = \frac{2 a + 1 \pm 1}{2}$ , тобто $a + 1$ і $a$ .
Обидва $> 3$ , якщо менший з них $a > 3$ .

Відповідь:

$a > 3$ .

Завдання 7.36

Порівняння (повторення)

Відомо, що $a > b$ . Порівняйте: 1) $a - 2$ і $b - 2$ ; 2) $2, 1 a$ і $2, 1 b$ ; 3) $- a$ і $- b$ ; 4) $- 8 a$ і $- 8 b$ .

Розв’язання

1) $a - 2 > b - 2$ ; 2) $2, 1 a > 2, 1 b$ .
3) $- a < - b$ ; 4) $- 8 a < - 8 b$ .

Відповідь:

1) $>$ ; 2) $>$ ; 3) $<$ ; 4) $<$ .

Завдання 7.37

Лінійні нерівності (повторення)

Знайдіть множину розв’язків: 1) $- 5 x ⩾ 15$ ; 2) $7 - x < 11 - 3 x$ .

Розв’язання

1) $x ⩽ - 3$ .
2) $2 x < 4 \Rightarrow x < 2$ .

Відповідь:

1) $(- \infty; - 3]$ ; 2) $(- \infty; 2)$ .

Завдання 7.38

Доведення нерівності

Доведіть нерівність $x^{2} - 8 x + 19 > 0$ .

Розв’язання

$x^{2} - 8 x + 19 = (x - 4)^{2} + 3 ⩾ 3 > 0$ .

Відповідь:

Доведено для всіх x.

Завдання 7.39

Оцінка виразів

Дано: $10 < x < 20$ , $2 < y < 5$ . Оцініть: 1) $2 x - y$ ; 2) $\frac{x}{y}$ .

Розв’язання

1) $20 < 2 x < 40$ , $- 5 < - y < - 2$ : $15 < 2 x - y < 38$ .
2) $\frac{1}{5} < \frac{1}{y} < \frac{1}{2}$ : $2 < \frac{x}{y} < 10$ .

Відповідь:

1) $15 < 2 x - y < 38$ ; 2) $2 < \frac{x}{y} < 10$ .

Завдання 7.40

Рівняння без розв’язків

За яких $m$ рівняння $m x^{2} + 4 x - 8 = 0$ не має розв’язків?

Розв’язання

При $m = 0$ : $4 x - 8 = 0$ , $x = 2$ — розв’язок є.
При $m \neq = 0$ : $D = 16 + 32 m < 0 \Rightarrow m < - 0, 5$ .

Відповідь:

$m < - 0, 5$ .

Завдання 7.41

Життєва задача: прополювання грядки

Яринка та Яся разом прополюють грядку за 24 хв, а Яся самостійно — за 40 хв. За скільки хвилин самостійно може прополоти грядку Яринка?

Розв’язання

$\frac{1}{t} = \frac{1}{24} - \frac{1}{40} = \frac{5 - 3}{120} = \frac{1}{60}$ .
$t = 60$ хв.

Відповідь:

За 60 хвилин.

Завдання 7.42

Олімпіадна задача (США, 1979)

Розв’яжіть у цілих числах рівняння $x_{1}^{4} + x_{2}^{4} + \dots + x_{14}^{4} = 1599$ .

Розв’язання

Якщо $n$ парне, $n^{4} = 16 k^{4}$ ; якщо $n = 2 k + 1$ , то $n^{4} - 1 = (n - 1) (n + 1) (n^{2} + 1)$ ділиться на 16. Отже, $n^{4}$ дає остачу 0 або 1.
Сума 14 таких чисел дає остачу, що дорівнює кількості непарних доданків, тобто число від 0 до 14.
Але $1599 = 16 \cdot 99 + 15$ — остача 15. Такого не може бути.

Відповідь:

Розв’язків у цілих числах немає.