Завдання 1.20, 1. Числові нерівності — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 1.20

Зміна неправильного дробу

Чисельник і знаменник неправильного дробу $\frac{a}{b}$ ( $a > 0$ , $b > 0$ ) збільшили на те саме число. Дріб збільшився чи зменшився?

Розв’язання

Дріб неправильний, тому $a ⩾ b > 0$ . Нехай чисельник і знаменник збільшили на $c > 0$ .
$\frac{a + c}{b + c} - \frac{a}{b} = \frac{b ( a + c ) - a ( b + c )}{b ( b + c )} = \frac{c ( b - a )}{b ( b + c )}$ .
Якщо $a > b$ , то $b - a < 0$ , а $c > 0$ , $b > 0$ , $b + c > 0$ , тому різниця від’ємна: $\frac{a + c}{b + c} < \frac{a}{b}$ .
Якщо $a = b$ , то дріб дорівнює $1$ і після зміни теж дорівнює $1$ .

Відповідь:

Дріб зменшиться (при $a > b$ ); якщо $a = b$ , дріб дорівнює $1$ і не зміниться.

Розбір зрозумілий?

1. Числові нерівності Завдання 1.20 с. 12

Зміна неправильного дробу

Умова

Що треба знати

Число $a$ більше за $b$ , якщо різниця $a - b$ додатна, і менше, якщо вона від’ємна. Щоб довести нерівність $A ⩾ B$ , складають різницю $A - B$ і показують, що вона невід’ємна, найчастіше виділяючи повні квадрати, бо $t^{2} ⩾ 0$ при будь-якому $t$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Знайдіть різницю нового і старого дробів; у неправильному дробі $a ⩾ b$ .

Розв’язання крок за кроком

Дріб неправильний, тому $a ⩾ b > 0$ . Нехай чисельник і знаменник збільшили на $c > 0$ .
$\frac{a + c}{b + c} - \frac{a}{b} = \frac{b ( a + c ) - a ( b + c )}{b ( b + c )} = \frac{c ( b - a )}{b ( b + c )}$ .
Якщо $a > b$ , то $b - a < 0$ , а $c > 0$ , $b > 0$ , $b + c > 0$ , тому різниця від’ємна: $\frac{a + c}{b + c} < \frac{a}{b}$ .
Якщо $a = b$ , то дріб дорівнює $1$ і після зміни теж дорівнює $1$ .

Відповідь:

Дріб зменшиться (при $a > b$ ); якщо $a = b$ , дріб дорівнює $1$ і не зміниться.

Розбір зрозумілий?