ГДЗ · Алгебра · 8 клас

Сторінка 172

Алгебра, Істер, 2025 · № 20.17–20.28 · 12 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 20. Квадратні рівняння. Неповні квадратні рівняння

Завдання 20.17

a і b за двома коренями

За яких a і b числа 1 і 2 є коренями рівняння $a x^{2} + b x + 4 = 0$ ?

Розв’язання

З першого $b = - a - 4$ ; тоді $4 a - 2 a - 8 + 4 = 0$ , $a = 2$ , $b = - 6$ .
Перевірка: $2 x^{2} - 6 x + 4 = 2 (x - 1) (x - 2)$ .

Відповідь:

a = 2, b = −6.

Завдання 20.18

b і c за двома коренями

За яких b і c числа 1 і 3 є коренями рівняння $x^{2} + b x + c = 0$ ?

Розв’язання

Віднімемо: $8 + 2 b = 0$ , $b = - 4$ , $c = 3$ .

Відповідь:

b = −4, c = 3.

Завдання 20.19

Рівняння, що зводяться до неповних (1)

1) $(x - 2) (x + 3) = - 6$ ; 2) $\frac{1}{3} x (x + 9) = \frac{1}{8} x (x - 16)$ ; 3) $(3 x - 1)^{2} = (x - 3)^{2}$ ; 4) $(2 x + 1) (3 x - 1) = x (x - 2) + 3 (x - \frac{1}{3})$ .

Розв’язання

1) $x^{2} + x = 0$ : 0; −1.
2) Помножимо на 24: $8 x^{2} + 72 x = 3 x^{2} - 48 x$ , $5 x^{2} + 120 x = 0$ : 0; −24.
3) $9 x^{2} - 6 x + 1 = x^{2} - 6 x + 9$ , $8 x^{2} = 8$ : ±1.
4) $6 x^{2} + x - 1 = x^{2} + x - 1$ , $5 x^{2} = 0$ : 0.

Відповідь:

0; −1 | 0; −24 | ±1 | 0.

Завдання 20.20

Рівняння, що зводяться до неповних (2)

1) $(x + 3) (x - 5) = - 15$ ; 2) $\frac{2}{3} x (x - 3) = \frac{1}{2} x (x + 4)$ ; 3) $(2 x - 3)^{2} = (3 x - 2)^{2}$ ; 4) $(5 x + 1) (2 x - 1) = x (x + 3) - 6 (x + \frac{1}{6})$ .

Розв’язання

1) $x^{2} - 2 x = 0$ : 0; 2.
2) ×6: $4 x^{2} - 12 x = 3 x^{2} + 12 x$ , $x^{2} - 24 x = 0$ : 0; 24.
3) $4 x^{2} - 12 x + 9 = 9 x^{2} - 12 x + 4$ , $5 x^{2} = 5$ : ±1.
4) $10 x^{2} - 3 x - 1 = x^{2} - 3 x - 1$ , $9 x^{2} = 0$ : 0.

Відповідь:

0; 2 | 0; 24 | ±1 | 0.

Завдання 20.21

Вираз на 4 менший

Для яких x значення $(3 x - 1) (x + 4)$ на 4 менше від $x (x + 2)$ ?

Розв’язання

$3 x^{2} + 11 x - 4 = x^{2} + 2 x - 4$ , $2 x^{2} + 9 x = 0$ .
$x = 0$ або $x = - 4, 5$ .

Відповідь:

0; −4,5.

Завдання 20.22

Вираз на 3 більший

Для яких x значення $(2 x + 1) (x + 3)$ на 3 більше за $x (x - 4)$ ?

Розв’язання

$2 x^{2} + 7 x + 3 = x^{2} - 4 x + 3$ , $x^{2} + 11 x = 0$ .
x = 0 або x = −11.

Відповідь:

0; −11.

Завдання 20.23

Добуток дорівнює середньому арифметичному

Добуток двох чисел дорівнює їх середньому арифметичному, а різниця — 1. Знайдіть ці числа.

Розв’язання

$x (x + 1) = \frac{2 x + 1}{2}$ , $2 x^{2} + 2 x = 2 x + 1$ , $x^{2} = \frac{1}{2}$ , $x = \pm \frac{2}{2}$ .
Числа: $\frac{2}{2}$ і $\frac{2}{2} + 1$ або $- \frac{2}{2}$ і $1 - \frac{2}{2}$ .

Відповідь:

$\frac{2}{2}$ і $1 + \frac{2}{2}$ або $- \frac{2}{2}$ і $1 - \frac{2}{2}$ .

Завдання 20.24

Половина добутку дорівнює середньому

Половина добутку двох чисел дорівнює їх середньому арифметичному, а різниця — 2. Знайдіть ці числа.

Розв’язання

$\frac{x ( x + 2 )}{2} = \frac{2 x + 2}{2}$ , $x^{2} + 2 x = 2 x + 2$ , $x^{2} = 2$ , $x = \pm 2$ .
Числа: $2$ і $2 + 2$ або $- 2$ і $2 - 2$ .

Відповідь:

$2$ і $2 + 2$ або $- 2$ і $2 - 2$ .

Завдання 20.25

Рівняння з модулем (1)

1) $x^{2} - 5∣ x ∣ = 0$ ; 2) $- \frac{x ^{3}}{∣ x ∣} + 4 = 0$ .

Розв’язання

1) $∣ x ∣ (∣ x ∣ - 5) = 0$ : $∣ x ∣ = 0$ або $∣ x ∣ = 5$ , тобто 0; ±5.
2) $x \neq = 0$ . При $x > 0$ : $- x^{2} + 4 = 0$ , $x = 2$ . При $x < 0$ : $x^{2} + 4 = 0$ — коренів немає.

Відповідь:

1) 0; ±5; 2) 2.

Завдання 20.26

Рівняння з модулем (2)

1) $- x^{2} + 3∣ x ∣ = 0$ ; 2) $\frac{x ^{3}}{∣ x ∣} - 9 = 0$ .

Розв’язання

1) $∣ x ∣ (3 - ∣ x ∣) = 0$ : 0; ±3.
2) При $x > 0$ : $x^{2} = 9$ , $x = 3$ ; при $x < 0$ : $- x^{2} - 9 = 0$ — немає.

Відповідь:

1) 0; ±3; 2) 3.

Завдання 20.27

Довести тотожність

$\frac{3 x + 3}{x ^{2} - x} : (\frac{x + 3}{x ^{2} - 1} - \frac{1}{x ^{2} + x}) = 3$ .

Розв’язання

Дужка: $\frac{x ( x + 3 ) - ( x - 1 )}{x ( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{( x + 1 ) ^{2}}{x ( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{x + 1}{x ( x - 1 )}$ .
$\frac{3 ( x + 1 )}{x ( x - 1 )} \cdot \frac{x ( x - 1 )}{x + 1} = 3$ .

Відповідь:

Тотожність доведено.

Завдання 20.28

Кусковий графік

$y = ⎩ ⎨ ⎧ - \frac{8}{x}, x^{2}, 8 - 2 x, x < - 2, - 2 ⩽ x ⩽ 2, x > 2.$

Розв’язання

При $x < - 2$ : частина гіперболи $y = - \frac{8}{x}$ — точки (−4; 2), (−8; 1), наближається до (−2; 4).
При −2 ≤ x ≤ 2: частина параболи від (−2; 4) через (0; 0) до (2; 4).
При x > 2: промінь y = 8 − 2x від (2; 4) через (3; 2), (4; 0).
Графік неперервний.

Відповідь:

Див. кроки.