ГДЗ · Алгебра · 8 клас

Сторінка 190

Алгебра, Істер, 2025 · № 23.22–23.29 · 8 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 23. Квадратне рівняння як математична модель текстових і прикладних задач

Завдання 23.22

Сигнальна ракета

Ракета, випущена вертикально вгору, через 2 с була на висоті 40 м. Коли вона буде на висоті 44,2 м?

Розв’язання

$v_{0} = 30$ м/с; $30 t - 5 t^{2} = 44, 2$ , $t^{2} - 6 t + 8, 84 = 0$ , $D = 0, 64$ , $t = \frac{6 \pm 0 , 8}{2}$ .

Відповідь:

Через 2,6 с і 3,4 с.

Завдання 23.23

Кислота й вода

Є 6 л кислоти. Частину використали і долили водою до 6 л. Потім використали стільки ж суміші й знову долили водою. Чистої кислоти стало втричі менше, ніж води. Скільки літрів кислоти використали першого разу?

Розв’язання

Після першого разу кислоти $6 - x$ ; після другого — $(6 - x) \cdot \frac{6 - x}{6} = \frac{( 6 - x ) ^{2}}{6}$ .
$\frac{( 6 - x ) ^{2}}{6} = 1, 5$ , $(6 - x)^{2} = 9$ , $6 - x = 3$ ( $6 - x = - 3$ неможливо).

Відповідь:

3 л.

Завдання 23.24

Корені рівнянь (повторення)

1) $3 x^{2} - 12 = 0$ ; 2) $5 x^{2} - 9 x = 0$ ; 3) $3 x^{2} + 10 x + 3 = 0$ ; 4) $x^{2} + 4 x + 4 = 0$ .

Розв’язання

1) ±2; 2) 0; 1,8; 3) $D = 64$ : $- \frac{1}{3}$ ; −3; 4) −2.

Відповідь:

±2 | 0; 1,8 | −1/3; −3 | −2.

Завдання 23.25

Розв’язати рівняння (повторення)

1) $(x + 2)^{2} = 5 x + 7$ ; 2) $\frac{1}{4} x^{2} - x - 5 = 0$ .

Розв’язання

1) $x^{2} - x - 3 = 0$ , $D = 13$ : $\frac{1 \pm 13}{2}$ .
2) $x^{2} - 4 x - 20 = 0$ , $D = 96$ : $2 \pm 26$ .

Відповідь:

$\frac{1 \pm 13}{2}$ ; $2 \pm 26$ .

Завдання 23.26

Лише один корінь

Для яких a рівняння $a x^{2} + 6 x - 4 = 0$ має лише один корінь?

Розв’язання

$a = 0$ : $6 x - 4 = 0$ , один корінь $\frac{2}{3}$ .
$a \neq = 0$ : $D = 36 + 16 a = 0$ , $a = - \frac{9}{4}$ .

Відповідь:

a = 0 або a = −2,25.

Завдання 23.27

Розкласти на множники

1) $4 x^{2} - 5 x$ ; 2) $7 x^{2} + 14 x$ ; 3) $x^{2} - 36$ ; 4) $\frac{1}{9} x^{2} - 25$ ; 5) $x^{2} - 10 x + 25$ ; 6) $16 x^{2} + 8 x + 1$ .

Розв’язання

1) $x (4 x - 5)$ ; 2) $7 x (x + 2)$ ; 3) $(x - 6) (x + 6)$ .
4) $(\frac{x}{3} - 5) (\frac{x}{3} + 5)$ ; 5) $(x - 5)^{2}$ ; 6) $(4 x + 1)^{2}$ .

Відповідь:

Див. кроки.

Завдання 23.28

Життєва математика: населення Києва

На 1 листопада 2019 р. у Київській області (без Києва) проживало 1 772 353 особи, у Києві — 2 922 794. Який відсоток становить населення Києва від усього населення області разом зі столицею? Округліть до сотих.

Розв’язання

Разом: 1 772 353 + 2 922 794 = 4 695 147.
2 922 794 : 4 695 147 · 100 % ≈ 62,25 %.

Відповідь:

≈ 62,25 %.

Завдання 23.29

Цікава задача: сума, кратна 100

Доведіть, що з будь-яких ста натуральних чисел можна вибрати кілька (можливо, одне), сума яких ділиться на 100.

Розв’язання

Складемо 100 сум $S_{1} = a_{1}$ , $S_{2} = a_{1} + a_{2}$ , …, $S_{100}$ .
Якщо якась ділиться на 100 — готово. Інакше 100 сум мають лише 99 можливих ненульових остач, тож дві суми $S_{i}$ і $S_{j}$ ( $i < j$ ) дають однакову остачу.
Тоді $S_{j} - S_{i} = a_{i + 1} + \dots + a_{j}$ ділиться на 100.

Відповідь:

Доведено.