ГДЗ · Алгебра · 8 клас

Сторінка 189

Алгебра, Істер, 2025 · № 23.7–23.21 · 15 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 23. Квадратне рівняння як математична модель текстових і прикладних задач

Завдання 23.7

Площа за сумою сторін і діагоналлю

Сума двох непаралельних сторін прямокутника 14 см, діагональ 10 см. Знайдіть площу.

Розв’язання

$196 = 100 + 2 ab$ , $ab = 48$ .
Площа 48 см² (сторони 6 і 8 см).

Відповідь:

48 см².

Завдання 23.8

Послідовні натуральні числа

Добуток двох послідовних натуральних чисел на 181 більший за їх суму.

Розв’язання

$n^{2} - n - 182 = 0$ , $D = 729$ , $n = 14$ .
Перевірка: 14 · 15 − 29 = 181.

Відповідь:

14 і 15.

Завдання 23.9

Квадратний шматок скла

Від квадратного шматка скла відрізали смужку завширшки 30 см, площа стала 2800 см². Знайдіть початкові розміри.

Розв’язання

$x^{2} - 30 x - 2800 = 0$ , $D = 12100$ , $x = \frac{30 + 110}{2} = 70$ .

Відповідь:

70 см × 70 см.

Завдання 23.10

Лист фанери: квадрат і прямокутник

Прямокутний лист фанери площею 300 дм² розрізали на квадрат і прямокутник. Сторона прямокутника, що не є стороною квадрата, — 5 дм. Знайдіть сторону квадрата.

Розв’язання

$x (x + 5) = 300$ , $x^{2} + 5 x - 300 = 0$ , $D = 1225$ , $x = 15$ .

Відповідь:

15 дм.

Завдання 23.11

Три послідовні цілі (1)

Потроєний квадрат меншого з трьох послідовних цілих чисел на 242 більший за суму квадратів двох інших.

Розв’язання

$3 n^{2} - (n + 1)^{2} - (n + 2)^{2} = 242$ , $n^{2} - 6 n - 247 = 0$ , $D = 1024$ .
$n = \frac{6 \pm 32}{2}$ : 19 або −13.

Відповідь:

19, 20, 21 або −13, −12, −11.

Завдання 23.12

Три послідовні цілі (2)

Квадрат більшого з трьох послідовних цілих чисел на 970 менший від подвоєної суми квадратів двох інших.

Розв’язання

$n^{2} + 4 n + 4 = 4 n^{2} + 4 n - 968$ , $3 n^{2} = 972$ , $n = \pm 18$ .

Відповідь:

18, 19, 20 або −18, −17, −16.

Завдання 23.13

Сума кубів 468, сума 12

Сума кубів двох натуральних чисел 468, а їх сума 12.

Розв’язання

$1728 - 36 ab = 468$ , $ab = 35$ .
Числа — корені $t^{2} - 12 t + 35 = 0$ : 5 і 7.

Відповідь:

5 і 7.

Завдання 23.14

Два велосипедисти під прямим кутом

Від перехрестя доріг під прямим кутом одночасно поїхали два велосипедисти: на схід і на північ. Швидкість першого на 4 км/год більша. Через 2 год між ними 40 км.

Розв’язання

$(v + 4)^{2} + v^{2} = 400$ , $v^{2} + 4 v - 192 = 0$ , $D = 784$ , $v = 12$ .

Відповідь:

16 км/год і 12 км/год.

Завдання 23.15

Периметр 44, сума площ квадратів 244

Периметр прямокутника 44 см, а сума площ квадратів на сусідніх сторонах — 244 см². Знайдіть сторони.

Розв’язання

$ab = 120$ ; сторони — корені $t^{2} - 22 t + 120 = 0$ : 10 і 12.

Відповідь:

10 см і 12 см.

Завдання 23.16

Рамка для фотокартки

Фото 10 × 15 см помістили в рамку сталої ширини, площа якої 204 см². Визначте ширину рамки.

Розв’язання

Якщо 204 см² — площа фото разом із рамкою: $(10 + 2 x) (15 + 2 x) = 204$ , $2 x^{2} + 25 x - 27 = 0$ , $D = 841$ , $x = 1$ (зовнішні розміри 12 × 17 см).
Якщо ж 204 см² вважати площею лише смужки рамки, $4 x^{2} + 50 x = 204$ дає $x = \frac{1441 - 25}{4} \approx 3, 24$ см — «некруглу» відповідь, тому за задумом маємо перший варіант.

Відповідь:

1 см.

Завдання 23.17

Клумба і доріжка

На ділянці 8 × 6 м розмістили клумбу площею 15 м² так, що навколо до меж ділянки утворилася доріжка сталої ширини.

Розв’язання

$4 x^{2} - 28 x + 33 = 0$ , $D = 256$ , $x = \frac{28 \pm 16}{8}$ : 5,5 або 1,5.
5,5 м більше за половину ширини ділянки — не підходить.

Відповідь:

1,5 м.

Завдання 23.18

Шаховий турнір: 45 партій

Кожен зіграв з кожним по одній партії, усього 45 партій. Скільки учасників?

Розв’язання

$n^{2} - n - 90 = 0$ , $n = 10$ .

Відповідь:

10 шахістів.

Завдання 23.19

Подарунки під ялинкою

Усі члени родини підготували одне одному подарунки — 20 подарунків. Скільки осіб у родині?

Розв’язання

$n^{2} - n - 20 = 0$ , $n = 5$ .

Відповідь:

5 осіб.

Завдання 23.20

М’яч, підкинутий футболістом

$h = v_{0} t - 5 t^{2}$ . Через 1 с м’яч був на висоті 10 м. Коли він буде на висоті 10,8 м?

Розв’язання

$v_{0} - 5 = 10$ , $v_{0} = 15$ м/с.
$15 t - 5 t^{2} = 10, 8$ , $t^{2} - 3 t + 2, 16 = 0$ , $D = 0, 36$ , $t = \frac{3 \pm 0 , 6}{2}$ .

Відповідь:

Через 1,2 с і 1,8 с.

Завдання 23.21

Удар головою

Футболістка зростом 1,8 м підбиває м’яч головою; через 0,4 с він на висоті 3,8 м. Коли м’яч буде на висоті 4,25 м?

Розв’язання

$1, 8 + 0, 4 v_{0} - 0, 8 = 3, 8$ , $v_{0} = 7$ м/с.
$1, 8 + 7 t - 5 t^{2} = 4, 25$ , $5 t^{2} - 7 t + 2, 45 = 0$ , $D = 49 - 49 = 0$ , $t = 0, 7$ .
4,25 м — найбільша висота, тому момент лише один.

Відповідь:

Через 0,7 с.