ГДЗ · Алгебра · 8 клас

Сторінка 204

Алгебра, Істер, 2025 · № 25.17–25.26 · 10 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 25. Розв’язування рівнянь, які зводяться до квадратних

Завдання 25.17

Суми дробів (1)

1) $\frac{x + 7}{x + 2} + \frac{x - 4}{x - 2} = 1$ ; 2) $\frac{3 x + 3}{3 x + 2} + \frac{2 x - 6}{3 x - 2} = 2$ ; 3) $\frac{4}{x - 5} - \frac{2}{x + 5} = \frac{x ^{2} + 15}{x ^{2} - 25}$ ; 4) $\frac{2 x + 2}{x - 3} - \frac{18}{x ^{2} - 9} = \frac{x + 6}{x + 3}$ .

Розв’язання

1) $(x + 7) (x - 2) + (x - 4) (x + 2) = x^{2} - 4$ , $x^{2} + 3 x - 18 = 0$ : 3; −6.
2) $15 x^{2} - 11 x - 18 = 18 x^{2} - 8$ , $3 x^{2} + 11 x + 10 = 0$ : −2; $- \frac{5}{3}$ .
3) $4 (x + 5) - 2 (x - 5) = x^{2} + 15$ , $x^{2} - 2 x - 15 = 0$ : 5 (відпадає); −3.
4) $(2 x + 2) (x + 3) - 18 = (x + 6) (x - 3)$ , $x^{2} + 5 x + 6 = 0$ : −3 (відпадає); −2.

Відповідь:

−6; 3 | −2; −5/3 | −3 | −2.

Завдання 25.18

Суми дробів (2)

1) $\frac{3 x + 9}{x + 1} + \frac{x - 6}{x - 1} = 3$ ; 2) $\frac{2 x + 8}{x + 5} + \frac{10}{x ^{2} - 25} = \frac{x - 4}{x - 5}$ .

Розв’язання

1) $(3 x + 9) (x - 1) + (x - 6) (x + 1) = 3 x^{2} - 3$ , $x^{2} + x - 12 = 0$ : 3; −4.
2) $(2 x + 8) (x - 5) + 10 = (x - 4) (x + 5)$ , $x^{2} - 3 x - 10 = 0$ : 5 (відпадає); −2.

Відповідь:

−4; 3 | −2.

Завдання 25.19

Знаменники-тричлени (1)

1) $\frac{2 x - 3}{x ^{2} + 4 x + 4} - \frac{x + 1}{x ^{2} + 2 x} = \frac{5}{x}$ ; 2) $\frac{6}{x ^{2} - 9} - \frac{4}{x ^{2} + 6 x + 9} = \frac{1}{x - 3}$ ; 3) $\frac{6}{x ^{2} - 36} - \frac{3}{x ^{2} + 6 x} = \frac{x + 12}{x ^{2} - 6 x}$ ; 4) $\frac{3 x + 2}{x + 1} + \frac{x + 4}{x - 3} = \frac{3 x ^{2} + 1}{x ^{2} - 2 x - 3}$ .

Розв’язання

1) Спільний знаменник $x (x + 2)^{2}$ : $x (2 x - 3) - (x + 1) (x + 2) = 5 (x + 2)^{2}$ , $2 x^{2} + 13 x + 11 = 0$ : −1; −5,5.
2) Знаменник $(x - 3) (x + 3)^{2}$ : $6 (x + 3) - 4 (x - 3) = (x + 3)^{2}$ , $x^{2} + 4 x - 21 = 0$ : 3 (відпадає); −7.
3) Знаменник $x (x - 6) (x + 6)$ : $6 x - 3 (x - 6) = (x + 12) (x + 6)$ , $x^{2} + 15 x + 54 = 0$ : −6 (відпадає); −9.
4) Знаменник $(x + 1) (x - 3)$ : $(3 x + 2) (x - 3) + (x + 4) (x + 1) = 3 x^{2} + 1$ , $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ : 3 і −1 — обидва відпадають. Коренів немає.

Відповідь:

−5,5; −1 | −7 | −9 | коренів немає.

Завдання 25.20

Знаменники-тричлени (2)

1) $\frac{21}{x ^{2} - 2 x} - \frac{14}{x ^{2} + 2 x} = \frac{5}{x}$ ; 2) $\frac{3}{x ^{2} - 4 x + 4} + \frac{4}{x ^{2} - 4} + \frac{1}{x + 2} = 0$ ; 3) $\frac{5}{x ^{2} + 10 x} + \frac{x + 20}{x ^{2} - 10 x} = \frac{10}{x ^{2} - 100}$ ; 4) $\frac{2 x + 7}{x + 4} - \frac{x - 2}{x - 1} = \frac{5}{x ^{2} + 3 x - 4}$ .

Розв’язання

1) $21 (x + 2) - 14 (x - 2) = 5 (x^{2} - 4)$ , $5 x^{2} - 7 x - 90 = 0$ , $D = 1849$ : 5; −3,6.
2) $3 (x + 2) + 4 (x - 2) + (x - 2)^{2} = 0$ , $x^{2} + 3 x + 2 = 0$ : −2 (відпадає); −1.
3) $5 (x - 10) + (x + 20) (x + 10) = 10 x$ , $x^{2} + 25 x + 150 = 0$ : −10 (відпадає); −15.
4) $(2 x + 7) (x - 1) - (x - 2) (x + 4) = 5$ , $x^{2} + 3 x - 4 = 0$ : 1 і −4 — обидва відпадають. Коренів немає.

Відповідь:

−3,6; 5 | −1 | −15 | коренів немає.

Завдання 25.21

Сума дорівнює добутку / частці

1) Для якого x сума дробів $\frac{6}{1 - x}$ і $\frac{x}{x + 2}$ дорівнює їх добутку? 2) Для якого x сума дробів $\frac{2}{x - 3}$ і $\frac{6}{x + 3}$ дорівнює їх частці?

Розв’язання

1) $6 (x + 2) + x (1 - x) = 6 x$ , $x^{2} - x - 12 = 0$ : 4; −3.
2) $\frac{2}{x - 3} + \frac{6}{x + 3} = \frac{x + 3}{3 ( x - 3 )}$ : $6 (x + 3) + 18 (x - 3) = (x + 3)^{2}$ , $x^{2} - 18 x + 45 = 0$ : 3 (відпадає); 15.

Відповідь:

1) −3; 4; 2) 15.

Завдання 25.22

Групування (1)

1) $x^{3} - 2 x^{2} - 9 x + 18 = 0$ ; 2) $3 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 4 = 0$ .

Розв’язання

1) $x^{2} (x - 2) - 9 (x - 2) = (x - 2) (x - 3) (x + 3)$ : 2; ±3.
2) $3 x^{2} (x + 1) - 4 (x + 1) = (x + 1) (3 x^{2} - 4)$ : −1; $\pm \frac{2 3}{3}$ .

Відповідь:

2; ±3 | −1; $\pm \frac{2 3}{3}$ .

Завдання 25.23

Групування (2)

1) $x^{3} - x^{2} - 4 x + 4 = 0$ ; 2) $4 x^{3} + 8 x^{2} - 3 x - 6 = 0$ .

Розв’язання

1) $(x - 1) (x^{2} - 4)$ : 1; ±2.
2) $(x + 2) (4 x^{2} - 3)$ : −2; $\pm \frac{3}{2}$ .

Відповідь:

1; ±2 | −2; $\pm \frac{3}{2}$ .

Завдання 25.24

Заміна змінної (1)

1) $(x^{2} + 3)^{2} - 3 (x^{2} + 3) - 4 = 0$ ; 2) $(x^{2} - x)^{2} + 2 (x^{2} - x) - 8 = 0$ .

Розв’язання

1) $t = x^{2} + 3$ : $t^{2} - 3 t - 4 = 0$ , t = 4 (t = −1 неможливо, бо $t ⩾ 3$ ); $x^{2} = 1$ : ±1.
2) $t = x^{2} - x$ : $t^{2} + 2 t - 8 = 0$ , t = 2 або −4. $x^{2} - x - 2 = 0$ : 2; −1; $x^{2} - x + 4 = 0$ — D < 0.

Відповідь:

±1 | −1; 2.

Завдання 25.25

Заміна змінної (2)

1) $(x^{2} + 2)^{2} - 2 (x^{2} + 2) - 3 = 0$ ; 2) $(x^{2} + x)^{2} - 5 (x^{2} + x) - 6 = 0$ .

Розв’язання

1) t = 3 (t = −1 відпадає): $x^{2} = 1$ , ±1.
2) t = 6 або −1: $x^{2} + x - 6 = 0$ : 2; −3; $x^{2} + x + 1 = 0$ — D < 0.

Відповідь:

±1 | −3; 2.

Завдання 25.26

Знаменники-многочлени третього степеня

1) $\frac{1}{2 ( x ^{2} + 3 )} - \frac{1}{3 ( x + 4 )} = \frac{1}{x ^{3} + 4 x ^{2} + 3 x + 12}$ ; 2) $\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x ^{2} + 3 x + 2} = \frac{32}{x ^{3} + 2 x ^{2} - x - 2}$ .

Розв’язання

1) Помножимо на $6 (x + 4) (x^{2} + 3)$ : $3 (x + 4) - 2 (x^{2} + 3) = 6$ , $2 x^{2} - 3 x = 0$ : 0; 1,5.
2) Помножимо на $(x - 1) (x + 1) (x + 2)$ : $(x + 1) (x + 2) + (x - 1) = 32$ , $x^{2} + 4 x - 31 = 0$ , $D = 140$ : $- 2 \pm 35$ .

Відповідь:

0; 1,5 | $- 2 \pm 35$ .