ГДЗ · Алгебра · 8 клас

Сторінка 203

Алгебра, Істер, 2025 · № 25.8–25.16 · 9 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 25. Розв’язування рівнянь, які зводяться до квадратних

Завдання 25.8

Дроби з однаковими знаменниками (2)

1) $\frac{x ^{2}}{x - 2} = \frac{3 x}{x - 2}$ ; 2) $\frac{x ^{2}}{x + 3} = \frac{9}{x + 3}$ ; 3) $\frac{3 x ^{2}}{1 - x} = \frac{x - 14}{x - 1}$ ; 4) $\frac{x ^{2} - 3}{x - 2} = \frac{2 x - 5}{2 - x}$ .

Розв’язання

1) $x^{2} = 3 x$ : 0; 3.
2) $x^{2} = 9$ , $x \neq = - 3$ : 3.
3) $- 3 x^{2} = x - 14$ , $3 x^{2} + x - 14 = 0$ , $D = 169$ : 2; $- \frac{7}{3}$ .
4) $x^{2} - 3 = - (2 x - 5)$ , $x^{2} + 2 x - 8 = 0$ : 2 (відпадає); −4.

Відповідь:

0; 3 | 3 | 2; −7/3 | −4.

Завдання 25.9

Пропорції (1)

1) $\frac{x - 3}{x} = \frac{8}{x + 3}$ ; 2) $\frac{2 x - 3}{x + 2} = \frac{x}{x + 6}$ ; 3) $\frac{10}{x - 3} = x$ ; 4) $\frac{8}{x} = 3 x + 2$ .

Розв’язання

1) $x^{2} - 9 = 8 x$ , $x^{2} - 8 x - 9 = 0$ : 9; −1.
2) $(2 x - 3) (x + 6) = x (x + 2)$ , $x^{2} + 7 x - 18 = 0$ : 2; −9.
3) $x^{2} - 3 x - 10 = 0$ : 5; −2.
4) $3 x^{2} + 2 x - 8 = 0$ , $D = 100$ : $\frac{4}{3}$ ; −2.

Відповідь:

−1; 9 | −9; 2 | −2; 5 | −2; 4/3.

Завдання 25.10

Пропорції (2)

1) $\frac{x - 2}{x} = \frac{3}{x + 2}$ ; 2) $\frac{3 x - 1}{x + 3} = \frac{x}{x + 1}$ ; 3) $\frac{3}{4 - x} = x$ ; 4) $\frac{6}{x} = 2 x - 1$ .

Розв’язання

1) $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ : 4; −1.
2) $3 x^{2} + 2 x - 1 = x^{2} + 3 x$ , $2 x^{2} - x - 1 = 0$ : 1; $- \frac{1}{2}$ .
3) $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ : 1; 3.
4) $2 x^{2} - x - 6 = 0$ , $D = 49$ : 2; −1,5.

Відповідь:

−1; 4 | −1/2; 1 | 1; 3 | −1,5; 2.

Завдання 25.11

Розкласти ліву частину (1)

1) $x^{3} - 4 x = 0$ ; 2) $x^{3} + 9 x = 0$ ; 3) $4 x^{4} - x^{2} = 0$ ; 4) $x^{3} + x^{2} - 6 x = 0$ .

Розв’язання

1) $x (x - 2) (x + 2) = 0$ : 0; ±2.
2) $x (x^{2} + 9) = 0$ : 0 (друга дужка додатна).
3) $x^{2} (2 x - 1) (2 x + 1) = 0$ : 0; $\pm \frac{1}{2}$ .
4) $x (x + 3) (x - 2) = 0$ : 0; −3; 2.

Відповідь:

0; ±2 | 0 | 0; ±1/2 | −3; 0; 2.

Завдання 25.12

Розкласти ліву частину (2)

1) $x^{3} - 9 x = 0$ ; 2) $x^{3} + 4 x = 0$ ; 3) $16 x^{4} - x^{2} = 0$ ; 4) $x^{3} + x^{2} - 12 x = 0$ .

Розв’язання

1) 0; ±3. 2) 0. 3) $x^{2} (4 x - 1) (4 x + 1) = 0$ : 0; $\pm \frac{1}{4}$ . 4) $x (x + 4) (x - 3) = 0$ : 0; −4; 3.

Відповідь:

0; ±3 | 0 | 0; ±1/4 | −4; 0; 3.

Завдання 25.13

Дробові рівняння (1)

1) $\frac{20}{x} - \frac{20}{x + 1} = 1$ ; 2) $\frac{2}{x} + \frac{1}{x - 2} = 1$ .

Розв’язання

1) $20 (x + 1) - 20 x = x (x + 1)$ , $x^{2} + x - 20 = 0$ : 4; −5.
2) $2 (x - 2) + x = x (x - 2)$ , $x^{2} - 5 x + 4 = 0$ : 1; 4.

Відповідь:

−5; 4 | 1; 4.

Завдання 25.14

Дробові рівняння (2)

1) $\frac{12}{x} - \frac{12}{x + 1} = 1$ ; 2) $\frac{3}{x} + \frac{1}{x - 4} = 1$ .

Розв’язання

1) $12 = x (x + 1)$ , $x^{2} + x - 12 = 0$ : 3; −4.
2) $3 (x - 4) + x = x (x - 4)$ , $x^{2} - 8 x + 12 = 0$ : 2; 6.

Відповідь:

−4; 3 | 2; 6.

Завдання 25.15

Різні дробові рівняння (1)

1) $\frac{x ^{4} - 10 x ^{2} + 9}{x + 3} = 0$ ; 2) $\frac{6 x ^{2} + 19 x - 7}{1 - 3 x} = 5$ ; 3) $\frac{2 x ^{2} - 5 x + 2}{x ^{2} - 4} = 3$ ; 4) $\frac{4 x + 2}{1 + 2 x} = 6 x + 5$ .

Розв’язання

1) $x^{2} = 1$ або $x^{2} = 9$ : ±1; ±3; але $x \neq = - 3$ . Відповідь: −1; 1; 3.
2) $6 x^{2} + 19 x - 7 = 5 - 15 x$ , $3 x^{2} + 17 x - 6 = 0$ , $D = 361$ : $\frac{1}{3}$ (відпадає); −6.
3) $2 x^{2} - 5 x + 2 = 3 x^{2} - 12$ , $x^{2} + 5 x - 14 = 0$ : 2 (відпадає); −7.
4) $2 = 6 x + 5$ , $x = - \frac{1}{2}$ — але при цьому знаменник 0. Коренів немає.

Відповідь:

−1; 1; 3 | −6 | −7 | коренів немає.

Завдання 25.16

Різні дробові рівняння (2)

1) $\frac{x ^{4} + x ^{2} - 2}{x + 1} = 0$ ; 2) $\frac{6 x ^{2} + 7 x - 5}{1 - 2 x} = 4$ ; 3) $\frac{3 x ^{2} - 10 x + 3}{x ^{2} - 9} = 2$ ; 4) $\frac{8 x + 2}{1 + 4 x} = 12 x + 5$ .

Розв’язання

1) $x^{2} = 1$ ( $x^{2} = - 2$ відпадає): ±1; $x \neq = - 1$ . Відповідь: 1.
2) $6 x^{2} + 7 x - 5 = 4 - 8 x$ , $2 x^{2} + 5 x - 3 = 0$ : $\frac{1}{2}$ (відпадає); −3.
3) $3 x^{2} - 10 x + 3 = 2 x^{2} - 18$ , $x^{2} - 10 x + 21 = 0$ : 3 (відпадає); 7.
4) $\frac{2 ( 4 x + 1 )}{4 x + 1} = 2$ , $2 = 12 x + 5$ , $x = - \frac{1}{4}$ — знаменник 0. Коренів немає.

Відповідь:

1 | −3 | 7 | коренів немає.