ГДЗ · Алгебра · 8 клас

Сторінка 209

Алгебра, Істер, 2025 · № 26.15–26.24 · 10 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 26. Розв’язування задач за допомогою дробових раціональних рівнянь

Завдання 26.15

Дві бригади асфальтувальників

Кожна бригада мала заасфальтувати 200 м². Перша за день асфальтувала на 10 м² більше і впоралася на 1 день раніше.

Розв’язання

$x^{2} + 10 x - 2000 = 0$ , $D = 8100$ , $x = 40$ .

Відповідь:

50 м² і 40 м² на день.

Завдання 26.16

Вантажівки

Для 60 т вантажу замовили кілька вантажівок. На кожну завантажили на 1 т більше, ніж планували, тож 3 вантажівки виявилися зайвими. Скільки вантажівок використали?

Розв’язання

$\frac{60}{n - 3} - \frac{60}{n} = 1$ , $n^{2} - 3 n - 180 = 0$ , $D = 729$ , $n = 15$ .
Використали 15 − 3 = 12 вантажівок.

Відповідь:

12 вантажівок.

Завдання 26.17

Майстер і учень (16 год)

Разом виконують замовлення за 16 год. Майстру самостійно потрібно на 24 год менше, ніж учню.

Розв’язання

$x^{2} - 8 x - 384 = 0$ , $D = 1600$ , $x = 24$ .

Відповідь:

Майстер — 24 год, учень — 48 год.

Завдання 26.18

Два малярі (20 год)

Разом фарбують будівлю за 20 год, одному потрібно на 9 год більше, ніж іншому.

Розв’язання

$x^{2} - 31 x - 180 = 0$ , $D = 1681$ , $x = 36$ .

Відповідь:

36 год і 45 год.

Завдання 26.19

Два крани й басейн

Через перший кран басейн наповнювали 9 хв, потім відкрили другий. Через 6 хв спільної роботи заповнилася половина басейну. Першому крану потрібно на 9 хв більше, ніж другому.

Розв’язання

$\frac{15}{x} + \frac{6}{x - 9} = \frac{1}{2}$ , $x^{2} - 51 x + 270 = 0$ , $D = 1521$ : 45 або 6 (менше 9 — не підходить).
Перший — 45 хв, другий — 36 хв.

Відповідь:

45 хв і 36 хв.

Завдання 26.20

Дві набірниці

Одна набирає текст на 12 днів швидше за іншу. Через 6 днів роботи другої до неї приєдналася перша; ще через 10 днів набрано $\frac{5}{7}$ тексту.

Розв’язання

$\frac{10}{x} + \frac{16}{x + 12} = \frac{5}{7}$ , $5 x^{2} - 122 x - 840 = 0$ , $D = 31684 = 17 8^{2}$ , $x = 30$ .

Відповідь:

30 днів і 42 дні.

Завдання 26.21

Пішохід: дорога назад

Пішохід ішов з A в B 4 год. Назад перші 10 км ішов з тією самою швидкістю, потім на 1 км/год повільніше і витратив на 30 хв більше. Знайдіть відстань.

Розв’язання

$\frac{10}{v} + \frac{4 v - 10}{v - 1} = 4, 5$ , $v^{2} - 9 v + 20 = 0$ : 4 або 5.
Обидва підходять: при v = 4 відстань 16 км (2,5 + 2 = 4,5 год), при v = 5 — 20 км (2 + 2,5 = 4,5 год).

Відповідь:

16 км або 20 км.

Завдання 26.22

Човен не дійшов 30 км

Від M до N за течією човен іде 3 год. Одного разу, не дійшовши 30 км до N, він повернув і прибув у M через 4,5 год. Течія 3 км/год.

Розв’язання

$\frac{3 v - 21}{v + 3} + \frac{3 v - 21}{v - 3} = 4, 5$ , $v^{2} - 28 v + 27 = 0$ : 27 або 1 (менше за течію).
Перевірка: MN = 90 км, 60 : 30 + 60 : 24 = 4,5 год.

Відповідь:

27 км/год.

Завдання 26.23

Розв’язати рівняння (повторення)

1) $2 x^{4} + 3 x^{2} - 5 = 0$ ; 2) $\frac{x ^{2}}{x - 6} = \frac{36}{x - 6}$ .

Розв’язання

1) $2 t^{2} + 3 t - 5 = 0$ : t = 1 (−2,5 відпадає) → ±1.
2) $x^{2} = 36$ , $x \neq = 6$ : −6.

Відповідь:

±1 | −6.

Завдання 26.24

Скоротити дріб

1) $\frac{x ^{2} + 3 x - 10}{x ^{2} - 2 x}$ ; 2) $\frac{x ^{2} - 9}{2 x ^{2} - 4 x - 6}$ .

Розв’язання

1) $\frac{( x + 5 ) ( x - 2 )}{x ( x - 2 )} = \frac{x + 5}{x}$ ; 2) $\frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{2 ( x - 3 ) ( x + 1 )} = \frac{x + 3}{2 ( x + 1 )}$ .

Відповідь:

$\frac{x + 5}{x}$ ; $\frac{x + 3}{2 ( x + 1 )}$ .