ГДЗ · Алгебра · 8 клас

Сторінка 208

Алгебра, Істер, 2025 · № 26.3–26.14 · 12 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 26. Розв’язування задач за допомогою дробових раціональних рівнянь

Завдання 26.3

Нескоротний дріб (1)

Чисельник нескоротного дробу на 1 менший від знаменника. Якщо від чисельника відняти 7, а від знаменника 5, дріб зменшиться на $\frac{1}{2}$ .

Розв’язання

$\frac{x - 8}{x - 5} = \frac{x - 1}{x} - \frac{1}{2} = \frac{x - 2}{2 x}$ .
$2 x (x - 8) = (x - 2) (x - 5)$ , $x^{2} - 9 x - 10 = 0$ , x = 10.
Перевірка: $\frac{2}{5} = \frac{9}{10} - \frac{1}{2}$ .

Відповідь:

9/10.

Завдання 26.4

Нескоротний дріб (2)

Знаменник нескоротного дробу на 5 більший за чисельник. Якщо знаменник збільшити на 6, а чисельник на 4, дріб збільшиться на $\frac{1}{4}$ .

Розв’язання

$\frac{x + 4}{x + 11} = \frac{x}{x + 5} + \frac{1}{4}$ .
$4 (x + 4) (x + 5) = 4 x (x + 11) + (x + 5) (x + 11)$ , $x^{2} + 24 x - 25 = 0$ , x = 1.
Перевірка: $\frac{5}{12} = \frac{1}{6} + \frac{1}{4}$ .

Відповідь:

1/6.

Завдання 26.5

Велосипедисти: 48 км

Відстань 48 км. Один велосипедист на 4 км/год швидший і прибув на 1 год раніше.

Розв’язання

$192 = v (v + 4)$ , $v^{2} + 4 v - 192 = 0$ , $v = 12$ .

Відповідь:

12 км/год і 16 км/год.

Завдання 26.6

Легковики: 420 км

Відстань 420 км, один на 10 км/год швидший і прибув на 1 год раніше.

Розв’язання

$v^{2} + 10 v - 4200 = 0$ , $D = 16900$ , $v = 60$ .

Відповідь:

60 км/год і 70 км/год.

Завдання 26.7

Поїзд ліквідує запізнення

Щоб ліквідувати запізнення на 40 хв, поїзд на перегоні 300 км збільшив швидкість на 5 км/год. Яка швидкість за розкладом?

Розв’язання

$\frac{300}{v} - \frac{300}{v + 5} = \frac{2}{3}$ , $v^{2} + 5 v - 2250 = 0$ , $D = 9025$ , $v = 45$ .

Відповідь:

45 км/год.

Завдання 26.8

Автомобіль після зупинки

Автомобіль мав проїхати 810 км. Подолавши $\frac{5}{9}$ шляху, зупинився на 30 хв, а потім, збільшивши швидкість на 10 км/год, прибув вчасно. Яка швидкість до зупинки?

Розв’язання

$\frac{360}{v} - \frac{360}{v + 10} = \frac{1}{2}$ , $v^{2} + 10 v - 7200 = 0$ , $D = 28900$ , $v = 80$ .

Відповідь:

80 км/год.

Завдання 26.9

Поїзд із зупинкою

Поїзд мав проїхати 320 км. Проїхавши $\frac{3}{8}$ шляху, зупинився на 1 год, далі їхав на 10 км/год повільніше і прибув через 7 год після виїзду. Яка початкова швидкість?

Розв’язання

$\frac{120}{v} + 1 + \frac{200}{v - 10} = 7$ .
$3 v^{2} - 190 v + 600 = 0$ , $D = 28900$ : $v = 60$ або $\frac{10}{3}$ (менше 10 — не підходить).

Відповідь:

60 км/год.

Завдання 26.10

Човен: швидкість течії

Власна швидкість човна 18 км/год. Він проплив 40 км за течією і 16 км проти течії за 3 год. Швидкість течії менша від 4 км/год.

Розв’язання

$3 x^{2} - 24 x + 36 = 0$ , $x^{2} - 8 x + 12 = 0$ : 2 або 6; за умовою x < 4.

Відповідь:

2 км/год.

Завдання 26.11

Човен: туди й назад за 7 год

Відстань між пристанями 48 км, туди й назад — за 7 год, течія 2 км/год. Знайдіть власну швидкість.

Розв’язання

$96 v = 7 (v^{2} - 4)$ , $7 v^{2} - 96 v - 28 = 0$ , $D = 10000$ , $v = 14$ .

Відповідь:

14 км/год.

Завдання 26.12

Моторний човен і стояча вода

Човен проплив 18 км за течією і 28 км проти течії за той самий час, що й 48 км у стоячій воді. Течія 3 км/год.

Розв’язання

$v^{2} - 15 v - 216 = 0$ , $D = 1089$ , $v = 24$ .

Відповідь:

24 км/год.

Завдання 26.13

Катер і пліт

Катер пропливає 30 км за течією і 8 км проти течії за той самий час, за який пліт пропливає 4 км. Власна швидкість катера 18 км/год.

Розв’язання

$x^{2} - 38 x + 72 = 0$ , $D = 1156$ : 2 або 36; 36 > 18 — катер не зміг би плисти проти течії.

Відповідь:

2 км/год.

Завдання 26.14

Озеро й річка

Човен проплив 40 км по озеру, а потім 18 км по річці, що впадає в озеро, витративши 3 год. Течія 2 км/год.

Розв’язання

$\frac{40}{v} + \frac{18}{v - 2} = 3$ , $3 v^{2} - 64 v + 80 = 0$ , $D = 3136$ : 20 або $\frac{4}{3}$ (менше за течію — не підходить).

Відповідь:

20 км/год.