ГДЗ · Алгебра · 8 клас

Сторінка 24

Алгебра, Істер, 2025 · № 2.23–2.31 · 9 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 2. Основна властивість раціонального дробу

Завдання 2.23

Скоротити складніші дроби (ще)

1) $\frac{( m + 5 ) ^{2} + ( m - 5 ) ^{2}}{m ^{2} + 25}$ ; 2) $\frac{a ^{4} - b ^{4}}{a ^{3} + b ^{3}}$ ; 3) $\frac{6 m + 2 n}{( 12 m + 4 n ) ^{2}}$ .

Розв’язання

1) $(m + 5)^{2} + (m - 5)^{2} = 2 m^{2} + 50 = 2 (m^{2} + 25)$ , тож дріб дорівнює $2$ .
2) $\frac{( a - b ) ( a + b ) ( a ^{2} + b ^{2} )}{( a + b ) ( a ^{2} - ab + b ^{2} )} = \frac{( a - b ) ( a ^{2} + b ^{2} )}{a ^{2} - ab + b ^{2}}$ .
3) $\frac{2 ( 3 m + n )}{16 ( 3 m + n ) ^{2}} = \frac{1}{8 ( 3 m + n )}$ .

Відповідь:

1) $2$ ; 2) $\frac{( a - b ) ( a ^{2} + b ^{2} )}{a ^{2} - ab + b ^{2}}$ ; 3) $\frac{1}{24 m + 8 n}$ .

Завдання 2.24

Область визначення і графік

Знайдіть область визначення функції та побудуйте графік: 1) $y = \frac{x ^{2} + 6 x}{6 x + 36}$ ; 2) $y = \frac{x ^{2} - 4 x + 4}{2 - x}$ .

Розв’язання

1) $6 x + 36 \neq = 0$ , тобто $x \neq = - 6$ . $y = \frac{x ( x + 6 )}{6 ( x + 6 )} = \frac{x}{6}$ .
Графік — пряма $y = \frac{x}{6}$ (через $(0; 0)$ і $(6; 1)$ ) з виколотою точкою $(- 6; - 1)$ .
2) $x \neq = 2$ . $y = \frac{( x - 2 ) ^{2}}{- ( x - 2 )} = 2 - x$ .
Графік — пряма $y = 2 - x$ (через $(0; 2)$ і $(3; - 1)$ ) з виколотою точкою $(2; 0)$ .

Відповідь:

1) $x \neq = - 6$ ; $y = \frac{x}{6}$ без точки $(- 6; - 1)$ ; 2) $x \neq = 2$ ; $y = 2 - x$ без точки $(2; 0)$ .

Завдання 2.25

Область визначення і графік (ще)

1) $y = \frac{x ^{2} - 5 x}{25 - 5 x}$ ; 2) $y = \frac{x ^{2} + 6 x + 9}{3 + x}$ .

Розв’язання

1) $x \neq = 5$ . $y = \frac{x ( x - 5 )}{- 5 ( x - 5 )} = - \frac{x}{5}$ — пряма через $(0; 0)$ і $(- 5; 1)$ без точки $(5; - 1)$ .
2) $x \neq = - 3$ . $y = \frac{( x + 3 ) ^{2}}{x + 3} = x + 3$ — пряма через $(0; 3)$ без точки $(- 3; 0)$ .

Відповідь:

1) $x \neq = 5$ ; $y = - \frac{x}{5}$ без $(5; - 1)$ ; 2) $x \neq = - 3$ ; $y = x + 3$ без $(- 3; 0)$ .

Завдання 2.26

Обчислити значення

1) $\frac{2 ^{12}}{2 ^{14}}$ ; 2) $\frac{3 ^{9}}{3 ^{6}}$ ; 3) $\frac{7 ^{4}}{49}$ ; 4) $\frac{125}{5 ^{5}}$ .

Розв’язання

1) $\frac{1}{2 ^{2}} = \frac{1}{4}$ ; 2) $3^{3} = 27$ .
3) $7^{2} = 49$ ; 4) $\frac{5 ^{3}}{5 ^{5}} = \frac{1}{25}$ .

Відповідь:

1) $\frac{1}{4}$ ; 2) $27$ ; 3) $49$ ; 4) $\frac{1}{25}$ .

Завдання 2.27

Системи рівнянь

1) ${x + 3 y = 2 3 x - 2 y = 17$ ; 2) ${3 x + 2 y = 2 7 x - 2 y = - 22$ .

Розв’язання

1) $x = 2 - 3 y$ ; $3 (2 - 3 y) - 2 y = 17$ , $- 11 y = 11$ , $y = - 1$ , $x = 5$ .
2) Додаємо: $10 x = - 20$ , $x = - 2$ ; $2 y = 2 + 6 = 8$ , $y = 4$ .
Перевірка 2): $7 \cdot (- 2) - 8 = - 22$ .

Відповідь:

1) $(5; - 1)$ ; 2) $(- 2; 4)$ .

Завдання 2.28

Спростити вираз

1) $(2 x + 3 y)^{2} - (x + 7 y) (4 x - y)$ ; 2) $(m + 3) (m^{2} - 5) - m (m - 4)^{2}$ .

Розв’язання

1) $4 x^{2} + 12 x y + 9 y^{2} - (4 x^{2} + 27 x y - 7 y^{2}) = 16 y^{2} - 15 x y$ .
2) $m^{3} + 3 m^{2} - 5 m - 15 - (m^{3} - 8 m^{2} + 16 m) = 11 m^{2} - 21 m - 15$ .

Відповідь:

1) $16 y^{2} - 15 x y$ ; 2) $11 m^{2} - 21 m - 15$ .

Завдання 2.29

Дроби з однаковими знаменниками

1) $\frac{1}{7} + \frac{3}{7}$ ; 2) $\frac{7}{13} + \frac{8}{13}$ ; 3) $\frac{9}{11} - \frac{5}{11}$ ; 4) $\frac{3}{17} - \frac{9}{17}$ ; 5) $\frac{4}{5} + \frac{1}{5}$ ; 6) $- \frac{11}{15} + \frac{2}{15}$ ; 7) $- \frac{3}{10} - \frac{7}{10}$ ; 8) $- \frac{2}{7} - (- \frac{1}{7})$ .

Розв’язання

1) $\frac{4}{7}$ ; 2) $\frac{15}{13} = 1 \frac{2}{13}$ ; 3) $\frac{4}{11}$ ; 4) $- \frac{6}{17}$ .
5) $1$ ; 6) $- \frac{9}{15} = - \frac{3}{5}$ ; 7) $- 1$ ; 8) $- \frac{1}{7}$ .

Відповідь:

1) $\frac{4}{7}$ ; 2) $1 \frac{2}{13}$ ; 3) $\frac{4}{11}$ ; 4) $- \frac{6}{17}$ ; 5) $1$ ; 6) $- \frac{3}{5}$ ; 7) $- 1$ ; 8) $- \frac{1}{7}$ .

Завдання 2.30

Міське і сільське населення

На 1 січня 2016 р. в Україні було 42 760 516 осіб, причому сільського населення на 38,375094 % менше, ніж міського. Знайдіть кількість міського та сільського населення.

Розв’язання

Різниця: $0, 38375094 \cdot 42760516 \approx 16409388$ осіб.
Міське: $(42760516 + 16409388) : 2 = 29584952$ .
Сільське: $42760516 - 29584952 = 13175564$ .
Для порівняння: якщо брати відсоток від міського, то $U = \frac{42 760 516}{1 , 61624906} \approx 26456638$ — не ціле, тож так дані не узгоджуються.

Відповідь:

Міського — 29 584 952 особи, сільського — 13 175 564 особи.

Завдання 2.31

Скільки пливе пліт

Катер за течією долає шлях від A до B за 2 год, а проти течії — за 3 год. За який час від A до B пропливе пліт?

Розв’язання

За течією: $\frac{s}{2}$ , проти течії: $\frac{s}{3}$ .
Швидкість течії: $(\frac{s}{2} - \frac{s}{3}) : 2 = \frac{s}{12}$ .
Час плоту: $s : \frac{s}{12} = 12$ год.

Відповідь:

12 год.