ГДЗ · Алгебра · 8 клас

Сторінка 37

Алгебра, Істер, 2025 · № 4.24–4.32 · 9 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 4. Додавання і віднімання дробів з різними знаменниками

Завдання 4.24

Скільки жінок мають медаль Філдса

Спростіть $\frac{4 n + m}{n ^{2} - m ^{2}} + \frac{1}{n + m}$ і обчисліть при $n = - 2$ , $m = - 3$ .

Розв’язання

$\frac{4 n + m + ( n - m )}{( n - m ) ( n + m )} = \frac{5 n}{n ^{2} - m ^{2}}$ .
$\frac{5 \cdot ( - 2 )}{4 - 9} = \frac{- 10}{- 5} = 2$ .
Медаль Філдса мають дві жінки: Маріам Мірзахані (2014) і Марина Вʼязовська (2022).

Відповідь:

Завдання 4.25

Подати у вигляді дробу

1) $\frac{a - 6}{a ^{2} - 4} + \frac{3}{a - 2}$ ; 2) $\frac{x}{x - 5} - \frac{x ^{2}}{x ^{2} - 10 x + 25}$ .

Розв’язання

1) $\frac{a - 6 + 3 ( a + 2 )}{( a - 2 ) ( a + 2 )} = \frac{4 a}{a ^{2} - 4}$ .
2) $\frac{x ( x - 5 ) - x ^{2}}{( x - 5 ) ^{2}} = - \frac{5 x}{( x - 5 ) ^{2}}$ .

Відповідь:

1) $\frac{4 a}{a ^{2} - 4}$ ; 2) $- \frac{5 x}{( x - 5 ) ^{2}}$ .

Завдання 4.26

Перетворити на дріб

1) $\frac{4 a - b}{a ^{2} - b ^{2}} + \frac{1}{a - b}$ ; 2) $\frac{2}{b + 3} + \frac{b + 6}{b ^{2} - 9}$ ; 3) $\frac{m}{m + 4} - \frac{m ^{2}}{m ^{2} + 8 m + 16}$ .

Розв’язання

1) $\frac{4 a - b + a + b}{a ^{2} - b ^{2}} = \frac{5 a}{a ^{2} - b ^{2}}$ .
2) $\frac{2 ( b - 3 ) + b + 6}{b ^{2} - 9} = \frac{3 b}{b ^{2} - 9}$ .
3) $\frac{m ( m + 4 ) - m ^{2}}{( m + 4 ) ^{2}} = \frac{4 m}{( m + 4 ) ^{2}}$ .

Відповідь:

1) $\frac{5 a}{a ^{2} - b ^{2}}$ ; 2) $\frac{3 b}{b ^{2} - 9}$ ; 3) $\frac{4 m}{( m + 4 ) ^{2}}$ .

Завдання 4.27

Протилежні множники в знаменниках

1) $\frac{a + 4}{ab - a ^{2}} + \frac{b + 4}{ab - b ^{2}}$ ; 2) $\frac{m ^{2}}{m x - x ^{2}} + \frac{x}{x - m}$ ; 3) $\frac{2}{x ^{2} - 4} - \frac{1}{x ^{2} + 2 x}$ ; 4) $\frac{3 ab - 27 a ^{2}}{b ^{2} - 3 ab} - \frac{3 a ^{2} - b ^{2}}{ab - 3 a ^{2}}$ .

Розв’язання

1) $\frac{a + 4}{a ( b - a )} - \frac{b + 4}{b ( b - a )} = \frac{b ( a + 4 ) - a ( b + 4 )}{ab ( b - a )} = \frac{4 ( b - a )}{ab ( b - a )} = \frac{4}{ab}$ .
2) $\frac{m ^{2}}{x ( m - x )} - \frac{x}{m - x} = \frac{m ^{2} - x ^{2}}{x ( m - x )} = \frac{m + x}{x}$ .
3) $\frac{2 x - ( x - 2 )}{x ( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{x + 2}{x ( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{1}{x ( x - 2 )}$ .
4) $\frac{3 ab - 27 a ^{2}}{b ( b - 3 a )} - \frac{3 a ^{2} - b ^{2}}{a ( b - 3 a )} = \frac{3 a ^{2} b - 27 a ^{3} - 3 a ^{2} b + b ^{3}}{ab ( b - 3 a )} = \frac{b ^{3} - 27 a ^{3}}{ab ( b - 3 a )}$ .
$b^{3} - 27 a^{3} = (b - 3 a) (b^{2} + 3 ab + 9 a^{2})$ , тож маємо $\frac{b ^{2} + 3 ab + 9 a ^{2}}{ab}$ .

Відповідь:

1) $\frac{4}{ab}$ ; 2) $\frac{m + x}{x}$ ; 3) $\frac{1}{x ( x - 2 )}$ ; 4) $\frac{b ^{2} + 3 ab + 9 a ^{2}}{ab}$ .

Завдання 4.28

Протилежні множники в знаменниках (ще)

1) $\frac{a - 2}{ab - a ^{2}} - \frac{2 - b}{ab - b ^{2}}$ ; 2) $\frac{t ^{2}}{t a + a ^{2}} - \frac{a}{t + a}$ ; 3) $\frac{4}{a ^{2} - 9} - \frac{2}{a ^{2} + 3 a}$ ; 4) $\frac{3 n ^{2} - 8 m ^{2}}{n ^{2} - 2 mn} - \frac{3 mn - n ^{2}}{mn - 2 m ^{2}}$ .

Розв’язання

1) $\frac{a - 2}{a ( b - a )} + \frac{2 - b}{b ( b - a )} = \frac{ab - 2 b + 2 a - ab}{ab ( b - a )} = \frac{2 ( a - b )}{ab ( b - a )} = - \frac{2}{ab}$ .
2) $\frac{t ^{2} - a ^{2}}{a ( t + a )} = \frac{t - a}{a}$ .
3) $\frac{4 a - 2 ( a - 3 )}{a ( a - 3 ) ( a + 3 )} = \frac{2 ( a + 3 )}{a ( a - 3 ) ( a + 3 )} = \frac{2}{a ( a - 3 )}$ .
4) $\frac{m ( 3 n ^{2} - 8 m ^{2} ) - n ( 3 mn - n ^{2} )}{mn ( n - 2 m )} = \frac{n ^{3} - 8 m ^{3}}{mn ( n - 2 m )} = \frac{n ^{2} + 2 mn + 4 m ^{2}}{mn}$ .

Відповідь:

1) $- \frac{2}{ab}$ ; 2) $\frac{t - a}{a}$ ; 3) $\frac{2}{a ( a - 3 )}$ ; 4) $\frac{n ^{2} + 2 mn + 4 m ^{2}}{mn}$ .

Завдання 4.29

Тотожність з числовими знаменниками

Доведіть: $\frac{( a - 1 ) ( a - 2 )}{12} - \frac{( a - 1 ) ( a - 5 )}{3} + \frac{( a - 5 ) ( a - 2 )}{4} = 1$ .

Розв’язання

Чисельник: $(a^{2} - 3 a + 2) - 4 (a^{2} - 6 a + 5) + 3 (a^{2} - 7 a + 10)$ .
Квадрати: $1 - 4 + 3 = 0$ ; перші степені: $- 3 + 24 - 21 = 0$ ; числа: $2 - 20 + 30 = 12$ .
Отже, ліва частина $= \frac{12}{12} = 1$ для будь-якого $a$ .

Відповідь:

Тотожність доведено.

Завдання 4.30

Цілий вираз мінус дріб

1) $m - n - \frac{m ^{2} + n ^{2}}{m + n}$ ; 2) $p - \frac{4}{p - 2} - 2$ ; 3) $a^{2} - \frac{a ^{4}}{a ^{2} - 1} + 1$ ; 4) $\frac{8 p ^{2}}{2 p - 3} - 4 p - 1$ .

Розв’язання

1) $\frac{m ^{2} - n ^{2} - m ^{2} - n ^{2}}{m + n} = - \frac{2 n ^{2}}{m + n}$ .
2) $\frac{( p - 2 ) ^{2} - 4}{p - 2} = \frac{p ^{2} - 4 p}{p - 2} = \frac{p ( p - 4 )}{p - 2}$ .
3) $\frac{( a ^{2} + 1 ) ( a ^{2} - 1 ) - a ^{4}}{a ^{2} - 1} = \frac{- 1}{a ^{2} - 1} = \frac{1}{1 - a ^{2}}$ .
4) $\frac{8 p ^{2} - ( 4 p + 1 ) ( 2 p - 3 )}{2 p - 3} = \frac{8 p ^{2} - 8 p ^{2} + 10 p + 3}{2 p - 3} = \frac{10 p + 3}{2 p - 3}$ .

Відповідь:

1) $- \frac{2 n ^{2}}{m + n}$ ; 2) $\frac{p ( p - 4 )}{p - 2}$ ; 3) $\frac{1}{1 - a ^{2}}$ ; 4) $\frac{10 p + 3}{2 p - 3}$ .

Завдання 4.31

Цілий вираз мінус дріб (ще)

1) $m - \frac{9}{m + 3} + 3$ ; 2) $\frac{6 m ^{2}}{3 m + 1} - 2 m + 4$ .

Розв’язання

1) $\frac{( m + 3 ) ^{2} - 9}{m + 3} = \frac{m ^{2} + 6 m}{m + 3} = \frac{m ( m + 6 )}{m + 3}$ .
2) $\frac{6 m ^{2} - ( 2 m - 4 ) ( 3 m + 1 )}{3 m + 1} = \frac{6 m ^{2} - 6 m ^{2} + 10 m + 4}{3 m + 1} = \frac{10 m + 4}{3 m + 1}$ .

Відповідь:

1) $\frac{m ( m + 6 )}{m + 3}$ ; 2) $\frac{10 m + 4}{3 m + 1}$ .

Завдання 4.32

Значення не залежить від m

Доведіть, що значення $\frac{4 m - 5}{7 m - 21} - \frac{m - 1}{2 m - 6}$ не залежить від $m$ .

Розв’язання

$\frac{2 ( 4 m - 5 ) - 7 ( m - 1 )}{14 ( m - 3 )} = \frac{m - 3}{14 ( m - 3 )} = \frac{1}{14}$ .
Для всіх $m \neq = 3$ вираз дорівнює $\frac{1}{14}$ .

Відповідь:

Завжди $\frac{1}{14}$ .