ГДЗ · Алгебра · 8 клас

Сторінка 38

Алгебра, Істер, 2025 · № 4.33–4.43 · 11 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 4. Додавання і віднімання дробів з різними знаменниками

Завдання 4.33

Складніші суми дробів

1) $\frac{x - 1}{x ^{2} - x + 1} + \frac{2 - x}{x ^{3} + 1}$ ; 2) $\frac{2 m}{m - 5} - \frac{5}{m + 5} + \frac{2 m ^{2}}{25 - m ^{2}}$ ; 3) $\frac{6}{m ^{2} - 6 m} + \frac{m - 12}{6 m - 36}$ ; 4) $\frac{3}{2 a + 6} + \frac{a ^{2} - a - 3}{a ^{2} - 9} - 1$ .

Розв’язання

1) $\frac{( x - 1 ) ( x + 1 ) + 2 - x}{x ^{3} + 1} = \frac{x ^{2} - x + 1}{( x + 1 ) ( x ^{2} - x + 1 )} = \frac{1}{x + 1}$ .
2) $\frac{2 m ( m + 5 ) - 5 ( m - 5 ) - 2 m ^{2}}{( m - 5 ) ( m + 5 )} = \frac{5 ( m + 5 )}{( m - 5 ) ( m + 5 )} = \frac{5}{m - 5}$ .
3) $\frac{36 + m ( m - 12 )}{6 m ( m - 6 )} = \frac{( m - 6 ) ^{2}}{6 m ( m - 6 )} = \frac{m - 6}{6 m}$ .
4) Знаменник $2 (a - 3) (a + 3)$ : $3 (a - 3) + 2 (a^{2} - a - 3) - 2 (a^{2} - 9) = a + 3$ , тож $\frac{a + 3}{2 ( a - 3 ) ( a + 3 )} = \frac{1}{2 ( a - 3 )}$ .

Відповідь:

1) $\frac{1}{x + 1}$ ; 2) $\frac{5}{m - 5}$ ; 3) $\frac{m - 6}{6 m}$ ; 4) $\frac{1}{2 a - 6}$ .

Завдання 4.34

Складніші суми дробів (ще)

1) $\frac{a + 1}{a ^{2} + a + 1} + \frac{a + 2}{a ^{3} - 1}$ ; 2) $\frac{2 a}{a - 3} + \frac{a}{a + 3} + \frac{2 a ^{2}}{9 - a ^{2}}$ ; 3) $\frac{4}{m ^{2} + 4 m} + \frac{m + 8}{4 m + 16}$ ; 4) $\frac{2}{3 b + 6} + \frac{b ^{2} - b - 2}{b ^{2} - 4} - 1$ .

Розв’язання

1) $\frac{( a + 1 ) ( a - 1 ) + a + 2}{a ^{3} - 1} = \frac{a ^{2} + a + 1}{( a - 1 ) ( a ^{2} + a + 1 )} = \frac{1}{a - 1}$ .
2) $\frac{2 a ( a + 3 ) + a ( a - 3 ) - 2 a ^{2}}{a ^{2} - 9} = \frac{a ( a + 3 )}{( a - 3 ) ( a + 3 )} = \frac{a}{a - 3}$ .
3) $\frac{16 + m ( m + 8 )}{4 m ( m + 4 )} = \frac{( m + 4 ) ^{2}}{4 m ( m + 4 )} = \frac{m + 4}{4 m}$ .
4) $\frac{b ^{2} - b - 2}{b ^{2} - 4} = \frac{b + 1}{b + 2}$ ; тоді $\frac{2 + 3 ( b + 1 ) - 3 ( b + 2 )}{3 ( b + 2 )} = - \frac{1}{3 ( b + 2 )}$ .

Відповідь:

1) $\frac{1}{a - 1}$ ; 2) $\frac{a}{a - 3}$ ; 3) $\frac{m + 4}{4 m}$ ; 4) $- \frac{1}{3 b + 6}$ .

Завдання 4.35

Тотожність з десятковими дробами

Доведіть: $\frac{0 , 9}{0 , 25 a + 0 , 5} - \frac{0 , 3 a + 0 , 6}{0 , 5 a ^{2} + 2 a + 2} = \frac{3}{a + 2}$ .

Розв’язання

$0, 25 a + 0, 5 = 0, 25 (a + 2)$ , тому перший дріб $= \frac{3 , 6}{a + 2}$ .
$0, 5 a^{2} + 2 a + 2 = 0, 5 (a + 2)^{2}$ , $0, 3 a + 0, 6 = 0, 3 (a + 2)$ , тому другий дріб $= \frac{0 , 6}{a + 2}$ .
Різниця: $\frac{3 , 6 - 0 , 6}{a + 2} = \frac{3}{a + 2}$ .

Відповідь:

Тотожність доведено.

Завдання 4.36

Тотожність з десятковими дробами (ще)

Доведіть: $\frac{0 , 35}{0 , 5 a - 1 , 5} - \frac{0 , 2 a - 0 , 6}{a ^{2} - 6 a + 9} = \frac{1}{2 ( a - 3 )}$ .

Розв’язання

$\frac{0 , 35}{0 , 5 ( a - 3 )} = \frac{0 , 7}{a - 3}$ .
$\frac{0 , 2 ( a - 3 )}{( a - 3 ) ^{2}} = \frac{0 , 2}{a - 3}$ .
Різниця: $\frac{0 , 5}{a - 3} = \frac{1}{2 ( a - 3 )}$ .

Відповідь:

Тотожність доведено.

Завдання 4.37

Суми кубів у чисельнику

1) $\frac{a ^{2} - 2 ab + 4 b ^{2}}{a ^{2} - 4 b ^{2}} + \frac{a ^{2} + 2 ab + 4 b ^{2}}{( a + 2 b ) ^{2}}$ ; 2) $\frac{2}{( a - 3 ) ^{2}} - \frac{4}{a ^{2} - 9} + \frac{2}{( a + 3 ) ^{2}}$ .

Розв’язання

1) Чисельник: $(a^{2} - 2 ab + 4 b^{2}) (a + 2 b) + (a^{2} + 2 ab + 4 b^{2}) (a - 2 b) = (a^{3} + 8 b^{3}) + (a^{3} - 8 b^{3}) = 2 a^{3}$ .
Отже, $\frac{2 a ^{3}}{( a - 2 b ) ( a + 2 b ) ^{2}}$ .
2) Чисельник: $2 (a + 3)^{2} - 4 (a - 3) (a + 3) + 2 (a - 3)^{2} = 2 ((a + 3) - (a - 3))^{2} = 2 \cdot 36 = 72$ .
Отже, $\frac{72}{( a ^{2} - 9 ) ^{2}}$ .

Відповідь:

1) $\frac{2 a ^{3}}{( a - 2 b ) ( a + 2 b ) ^{2}}$ ; 2) $\frac{72}{( a ^{2} - 9 ) ^{2}}$ .

Завдання 4.38

Суми кубів у чисельнику (ще)

1) $\frac{x ^{2} - x y + y ^{2}}{x ^{2} - y ^{2}} + \frac{x ^{2} + x y + y ^{2}}{( x + y ) ^{2}}$ ; 2) $\frac{1}{( x - 2 ) ^{2}} - \frac{2}{x ^{2} - 4} + \frac{1}{( x + 2 ) ^{2}}$ .

Розв’язання

1) Знаменник $(x - y) (x + y)^{2}$ ; чисельник $(x^{3} + y^{3}) + (x^{3} - y^{3}) = 2 x^{3}$ .
Відповідь: $\frac{2 x ^{3}}{( x - y ) ( x + y ) ^{2}}$ .
2) Чисельник $(x + 2)^{2} - 2 (x - 2) (x + 2) + (x - 2)^{2} = ((x + 2) - (x - 2))^{2} = 16$ .
Відповідь: $\frac{16}{( x ^{2} - 4 ) ^{2}}$ .

Відповідь:

1) $\frac{2 x ^{3}}{( x - y ) ( x + y ) ^{2}}$ ; 2) $\frac{16}{( x ^{2} - 4 ) ^{2}}$ .

Завдання 4.39

Підібрати параметр

За якого значення $a$ вираз $2 + \frac{a}{x - 4}$ тотожно дорівнює $\frac{2 x}{x - 4}$ ?

Розв’язання

$2 + \frac{a}{x - 4} = \frac{2 x - 8 + a}{x - 4}$ .
Чисельники мають збігатися: $2 x - 8 + a = 2 x$ , тож $a = 8$ .

Відповідь:

$a = 8$ .

Завдання 4.40

Вираз завжди додатний

Доведіть, що $\frac{a ^{3} + 3 a}{a + 2} - \frac{3 a ^{2} - 14 a + 16}{a ^{2} - 4} + 2 a$ додатний для всіх допустимих $a$ .

Розв’язання

Чисельник: $(a^{3} + 3 a) (a - 2) - (3 a^{2} - 14 a + 16) + 2 a (a^{2} - 4)$ .
$= a^{4} - 2 a^{3} + 3 a^{2} - 6 a - 3 a^{2} + 14 a - 16 + 2 a^{3} - 8 a = a^{4} - 16$ .
$\frac{a ^{4} - 16}{a ^{2} - 4} = \frac{( a ^{2} - 4 ) ( a ^{2} + 4 )}{a ^{2} - 4} = a^{2} + 4$ .
$a^{2} + 4 ⩾ 4 > 0$ для всіх $a \neq = \pm 2$ .

Відповідь:

Вираз дорівнює $a^{2} + 4 > 0$ .

Завдання 4.41

Довести тотожність

Доведіть: $a + a^{2} + \frac{2 a ^{2} + 3 a + 1}{a ^{2} - 1} - \frac{a ^{3} + 2 a}{a - 1} = - 1$ .

Розв’язання

$\frac{( 2 a + 1 ) ( a + 1 )}{( a - 1 ) ( a + 1 )} = \frac{2 a + 1}{a - 1}$ .
$\frac{2 a + 1 - a ^{3} - 2 a}{a - 1} = \frac{1 - a ^{3}}{a - 1} = - (a^{2} + a + 1)$ .
$a + a^{2} - a^{2} - a - 1 = - 1$ .

Відповідь:

Тотожність доведено (для a ≠ ±1).

Завдання 4.42

Графік функції

Побудуйте графік $y = 15 (\frac{3 x + 4}{5 x - 10} - \frac{x + 4}{3 x - 6})$ .

Розв’язання

$15 \cdot \frac{3 ( 3 x + 4 ) - 5 ( x + 4 )}{15 ( x - 2 )} = \frac{4 x - 8}{x - 2} = 4$ , де $x \neq = 2$ .
Графік — горизонтальна пряма $y = 4$ з виколотою точкою $(2; 4)$ .

Відповідь:

Пряма $y = 4$ без точки $(2; 4)$ .

Завдання 4.43

Вік Руслана Пономарьова

Знайдіть значення $\frac{3 a + 0 , 5 b}{9 a ^{2} - 1 , 5 ab} - \frac{12 a}{9 a ^{2} - 0 , 25 b ^{2}} - \frac{3 a - 0 , 5 b}{9 a ^{2} + 1 , 5 ab}$ при $a = \frac{1}{6}$ , $b = - 1 \frac{4}{9}$ .

Розв’язання

Вираз: $\frac{u + v}{u ( u - v )} - \frac{4 u}{( u - v ) ( u + v )} - \frac{u - v}{u ( u + v )}$ .
Чисельник над $u (u - v) (u + v)$ : $(u + v)^{2} - 4 u^{2} - (u - v)^{2} = 4 uv - 4 u^{2} = - 4 u (u - v)$ .
Отже, вираз $= - \frac{4}{u + v} = - \frac{4}{3 a + 0 , 5 b}$ .
$3 a = \frac{1}{2}$ , $0, 5 b = - \frac{13}{18}$ , $u + v = - \frac{2}{9}$ ; $- 4 : (- \frac{2}{9}) = 18$ .
Руслан Пономарьов став чемпіоном світу з шахів у 18 років (2002).

Відповідь:

18.