ГДЗ · Алгебра · 8 клас

Сторінка 48

Алгебра, Істер, 2025 · № 5.22–5.30 · 9 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 5. Множення дробів. Піднесення дробу до степеня

Завдання 5.22

Многочлен на дріб (ще)

1) $\frac{4}{x ^{2} - 9 y ^{2}} \cdot (6 x + 18 y)$ ; 2) $(c^{2} + 4 c + 4) \cdot (- \frac{c}{3 c ^{2} - 12})$ .

Розв’язання

1) $\frac{24 ( x + 3 y )}{( x - 3 y ) ( x + 3 y )} = \frac{24}{x - 3 y}$ .
2) $- \frac{c ( c + 2 ) ^{2}}{3 ( c - 2 ) ( c + 2 )} = - \frac{c ( c + 2 )}{3 ( c - 2 )}$ .

Відповідь:

1) $\frac{24}{x - 3 y}$ ; 2) $- \frac{c ( c + 2 )}{3 ( c - 2 )}$ .

Завдання 5.23

Степені й добуток

1) $(\frac{25 x ^{2}}{8 y ^{3}})^{3} \cdot (- \frac{16 y ^{5}}{125 x ^{3}})^{2}$ ; 2) $\frac{x ^{2} - 2 x y + y ^{2}}{x ^{2} + 2 x y + y ^{2}} \cdot (\frac{x + y}{x - y})^{3}$ .

Розв’язання

1) $\frac{15625 x ^{6}}{512 y ^{9}} \cdot \frac{256 y ^{10}}{15625 x ^{6}} = \frac{y}{2}$ .
2) $\frac{( x - y ) ^{2}}{( x + y ) ^{2}} \cdot \frac{( x + y ) ^{3}}{( x - y ) ^{3}} = \frac{x + y}{x - y}$ .

Відповідь:

1) $\frac{y}{2}$ ; 2) $\frac{x + y}{x - y}$ .

Завдання 5.24

Степені й добуток (ще)

1) $(- \frac{16 m ^{3}}{27 n ^{5}})^{2} \cdot (\frac{9 n ^{4}}{8 m ^{2}})^{3}$ ; 2) $(\frac{m - n}{m + n})^{3} \cdot \frac{m ^{2} + 2 mn + n ^{2}}{m ^{2} - 2 mn + n ^{2}}$ .

Розв’язання

1) $\frac{256 m ^{6}}{729 n ^{10}} \cdot \frac{729 n ^{12}}{512 m ^{6}} = \frac{n ^{2}}{2}$ .
2) $\frac{( m - n ) ^{3}}{( m + n ) ^{3}} \cdot \frac{( m + n ) ^{2}}{( m - n ) ^{2}} = \frac{m - n}{m + n}$ .

Відповідь:

1) $\frac{n ^{2}}{2}$ ; 2) $\frac{m - n}{m + n}$ .

Завдання 5.25

Значення після спрощення

1) $\frac{6 ab - b}{5 a + b} \cdot \frac{25 a ^{2} - b ^{2}}{6 a - 1}$ при $a = 1, 2$ , $b = 6$ ; 2) $\frac{a ^{3} + 8}{a ^{2} - 1} \cdot \frac{a ^{2} + a}{a ^{2} - 2 a + 4}$ при $a = 6$ .

Розв’язання

1) $\frac{b ( 6 a - 1 )}{5 a + b} \cdot \frac{( 5 a - b ) ( 5 a + b )}{6 a - 1} = b (5 a - b)$ ; $6 \cdot (6 - 6) = 0$ .
2) $\frac{( a + 2 ) ( a ^{2} - 2 a + 4 )}{( a - 1 ) ( a + 1 )} \cdot \frac{a ( a + 1 )}{a ^{2} - 2 a + 4} = \frac{a ( a + 2 )}{a - 1}$ ; $\frac{6 \cdot 8}{5} = 9, 6$ .

Відповідь:

1) 0; 2) 9,6.

Завдання 5.26

Групування в обох дробах

1) $\frac{x ^{2} + a x - c x - c a}{x ^{2} - a x + c x - a c} \cdot \frac{x ^{2} + a c + x c + x a}{x ^{2} + a c - x c - x a}$ ; 2) $\frac{5 a - 5 b}{3 c + 3 y} \cdot \frac{c ^{2} - y ^{2} - c - y}{a ^{2} - b ^{2} + a - b}$ .

Розв’язання

1) Чисельники: $(x + a) (x - c)$ і $(x + c) (x + a)$ ; знаменники: $(x - a) (x + c)$ і $(x - c) (x - a)$ .
Після скорочення: $\frac{( x + a ) ^{2}}{( x - a ) ^{2}}$ .
2) $c^{2} - y^{2} - c - y = (c + y) (c - y - 1)$ , $a^{2} - b^{2} + a - b = (a - b) (a + b + 1)$ .
$\frac{5 ( a - b )}{3 ( c + y )} \cdot \frac{( c + y ) ( c - y - 1 )}{( a - b ) ( a + b + 1 )} = \frac{5 ( c - y - 1 )}{3 ( a + b + 1 )}$ .

Відповідь:

1) $\frac{( x + a ) ^{2}}{( x - a ) ^{2}}$ ; 2) $\frac{5 ( c - y - 1 )}{3 ( a + b + 1 )}$ .

Завдання 5.27

Обчислити зручно

Обчисліть $\frac{a ^{2} - b ^{2} + a + b}{a ^{2} - b ^{2} + a - b} \cdot \frac{4 a - 4 b}{8 a + 8 b}$ при $a = 100$ , $b = 101$ .

Розв’язання

$\frac{( a + b ) ( a - b + 1 )}{( a - b ) ( a + b + 1 )} \cdot \frac{4 ( a - b )}{8 ( a + b )} = \frac{a - b + 1}{2 ( a + b + 1 )}$ .
$a - b + 1 = 0$ , тож значення $0$ .

Відповідь:

Завдання 5.28

Системи рівнянь з дробами

1) $\frac{1}{8} (x + y) = 3$ , $\frac{1}{3} (x - y) = 5$ ; 2) $\frac{x - 1}{3} + \frac{y - 1}{2} = 2$ , $\frac{x - 1}{2} - \frac{y - 1}{12} = \frac{4}{3}$ .

Розв’язання

1) $x + y = 24$ , $x - y = 15$ : $x = 19, 5$ , $y = 4, 5$ .
2) $2 x + 3 y = 17$ і $6 x - y = 21$ , тоді $y = 6 x - 21$ , $20 x = 80$ , $x = 4$ , $y = 3$ .

Відповідь:

1) (19,5; 4,5); 2) (4; 3).

Завдання 5.29

Графік функції

Побудуйте графік $y = \frac{x ^{3} - 8}{x - 2} - x^{2}$ .

Розв’язання

$y = x^{2} + 2 x + 4 - x^{2} = 2 x + 4$ , де $x \neq = 2$ .
Графік — пряма $y = 2 x + 4$ (через $(0; 4)$ і $(- 2; 0)$ ) з виколотою точкою $(2; 8)$ .

Відповідь:

Пряма $y = 2 x + 4$ без точки $(2; 8)$ .

Завдання 5.30

Обернені числа

Знайдіть число, обернене до: 1) 4; 2) −7; 3) $\frac{1}{3}$ ; 4) $- \frac{2}{5}$ ; 5) 0,16; 6) 1,2.

Розв’язання

1) $\frac{1}{4}$ ; 2) $- \frac{1}{7}$ ; 3) $3$ .
4) $- \frac{5}{2}$ ; 5) $\frac{25}{4} = 6, 25$ ; 6) $\frac{5}{6}$ .

Відповідь:

1) 1/4; 2) −1/7; 3) 3; 4) −2,5; 5) 6,25; 6) 5/6.