ГДЗ · Алгебра · 8 клас

Сторінка 47

Алгебра, Істер, 2025 · № 5.13–5.21 · 9 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 5. Множення дробів. Піднесення дробу до степеня

Завдання 5.13

Рік «Адресної мови» Катерини Ющенко

Спростіть $\frac{5 x ^{2} + 15 x}{y ^{2} - 2 y} \cdot \frac{2 - y}{x + 3}$ і знайдіть значення при $x = 17$ , $y = - \frac{1}{23}$ .

Розв’язання

$\frac{5 x ( x + 3 )}{y ( y - 2 )} \cdot \frac{2 - y}{x + 3} = - \frac{5 x}{y}$ .
$- \frac{85}{- \frac{1}{23}} = 85 \cdot 23 = 1955$ .
У 1955 році Катерина Ющенко створила «Адресну мову» — одну з перших мов програмування високого рівня.

Відповідь:

1955.

Завдання 5.14

Кубок кубків «Динамо» (Київ)

Спростіть $\frac{35 a - 5 a ^{2}}{b ^{2} + 4 b} \cdot \frac{4 + b}{a - 7}$ і знайдіть значення при $a = 79$ , $b = - 0, 2$ .

Розв’язання

$\frac{- 5 a ( a - 7 )}{b ( b + 4 )} \cdot \frac{b + 4}{a - 7} = - \frac{5 a}{b}$ .
$- \frac{395}{- 0 , 2} = 1975$ .
«Динамо» (Київ) уперше виграло Кубок володарів кубків УЄФА 1975 року.

Відповідь:

1975.

Завдання 5.15

Піднести дріб до степеня

1) $(\frac{p}{4 m})^{3}$ ; 2) $(\frac{3 c ^{2}}{m})^{4}$ ; 3) $(- \frac{3 m ^{2} n}{7})^{2}$ ; 4) $(- \frac{2 m ^{2}}{3 x ^{3}})^{3}$ ; 5) $(\frac{2 a ^{3} b}{x ^{7}})^{5}$ ; 6) $(- \frac{c ^{2} m ^{3}}{p})^{10}$ .

Розв’язання

1) $\frac{p ^{3}}{64 m ^{3}}$ ; 2) $\frac{81 c ^{8}}{m ^{4}}$ ; 3) $\frac{9 m ^{4} n ^{2}}{49}$ .
4) $- \frac{8 m ^{6}}{27 x ^{9}}$ ; 5) $\frac{32 a ^{15} b ^{5}}{x ^{35}}$ ; 6) $\frac{c ^{20} m ^{30}}{p ^{10}}$ .

Відповідь:

1) $\frac{p ^{3}}{64 m ^{3}}$ ; 2) $\frac{81 c ^{8}}{m ^{4}}$ ; 3) $\frac{9 m ^{4} n ^{2}}{49}$ ; 4) $- \frac{8 m ^{6}}{27 x ^{9}}$ ; 5) $\frac{32 a ^{15} b ^{5}}{x ^{35}}$ ; 6) $\frac{c ^{20} m ^{30}}{p ^{10}}$ .

Завдання 5.16

Подати у вигляді дробу

1) $(\frac{c}{5 m})^{2}$ ; 2) $(\frac{y}{2 x ^{3}})^{4}$ ; 3) $(- \frac{4 c ^{2} m ^{3}}{5})^{2}$ ; 4) $(- \frac{3 c ^{3}}{m ^{7}})^{3}$ ; 5) $(\frac{c ^{3} m}{2 a ^{2}})^{6}$ ; 6) $(- \frac{a b ^{3}}{c ^{2}})^{8}$ .

Розв’язання

1) $\frac{c ^{2}}{25 m ^{2}}$ ; 2) $\frac{y ^{4}}{16 x ^{12}}$ ; 3) $\frac{16 c ^{4} m ^{6}}{25}$ .
4) $- \frac{27 c ^{9}}{m ^{21}}$ ; 5) $\frac{c ^{18} m ^{6}}{64 a ^{12}}$ ; 6) $\frac{a ^{8} b ^{24}}{c ^{16}}$ .

Відповідь:

1) $\frac{c ^{2}}{25 m ^{2}}$ ; 2) $\frac{y ^{4}}{16 x ^{12}}$ ; 3) $\frac{16 c ^{4} m ^{6}}{25}$ ; 4) $- \frac{27 c ^{9}}{m ^{21}}$ ; 5) $\frac{c ^{18} m ^{6}}{64 a ^{12}}$ ; 6) $\frac{a ^{8} b ^{24}}{c ^{16}}$ .

Завдання 5.17

Добуток трьох множників

1) $\frac{54 a ^{2} c}{81 b ^{3}} \cdot \frac{32 ab}{13 c ^{3}} \cdot \frac{52 b c ^{2}}{128 a ^{3}}$ ; 2) $\frac{147 x ^{4} y ^{2}}{p ^{3}} \cdot 10 x p^{2} \cdot \frac{y ^{3}}{105 x ^{5} y}$ .

Розв’язання

1) Числа: $\frac{54}{81} \cdot \frac{32}{128} \cdot \frac{52}{13} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} \cdot 4 = \frac{2}{3}$ ; $a$ і $c$ скорочуються, лишається $\frac{1}{b}$ . Відповідь $\frac{2}{3 b}$ .
2) $\frac{147 \cdot 10}{105} = 14$ ; $x$ скорочується, $y^{4}$ , $\frac{1}{p}$ : $\frac{14 y ^{4}}{p}$ .

Відповідь:

1) $\frac{2}{3 b}$ ; 2) $\frac{14 y ^{4}}{p}$ .

Завдання 5.18

Добуток трьох множників (ще)

1) $\frac{14 x z ^{3}}{81 y ^{2}} \cdot \frac{27 y ^{3}}{5 x z} \cdot \frac{45 x y}{7 z ^{2}}$ ; 2) $\frac{b ^{3}}{111 m ^{5}} \cdot 3 m c^{3} \cdot \frac{74 m ^{3} b}{c ^{4}}$ .

Розв’язання

1) $6 x y^{2}$ .
2) $\frac{3 \cdot 74}{111} = 2$ : $\frac{2 b ^{4}}{m c}$ .

Відповідь:

1) $6 x y^{2}$ ; 2) $\frac{2 b ^{4}}{m c}$ .

Завдання 5.19

Добуток із формулами

1) $\frac{m ^{2} - 4 m + 4}{m ^{2} + 6 m + 9} \cdot \frac{m ^{2} - 9}{3 m - 6}$ ; 2) $- \frac{x ^{2} - 10 x + 25}{x ^{2} - 3 x + 9} \cdot \frac{x ^{3} + 27}{25 - x ^{2}}$ .

Розв’язання

1) $\frac{( m - 2 ) ^{2}}{( m + 3 ) ^{2}} \cdot \frac{( m - 3 ) ( m + 3 )}{3 ( m - 2 )} = \frac{( m - 2 ) ( m - 3 )}{3 ( m + 3 )}$ .
2) $- \frac{( x - 5 ) ^{2}}{x ^{2} - 3 x + 9} \cdot \frac{( x + 3 ) ( x ^{2} - 3 x + 9 )}{( 5 - x ) ( 5 + x )} = - \frac{( 5 - x ) ( x + 3 )}{x + 5} = \frac{( x - 5 ) ( x + 3 )}{x + 5}$ .

Відповідь:

1) $\frac{( m - 2 ) ( m - 3 )}{3 ( m + 3 )}$ ; 2) $\frac{( x - 5 ) ( x + 3 )}{x + 5}$ .

Завдання 5.20

Добуток із формулами (ще)

1) $\frac{a ^{2} + 8 a + 16}{a ^{2} - 2 a + 1} \cdot \frac{7 a - 7}{a ^{2} - 16}$ ; 2) $- \frac{y ^{3} - 8}{9 - y ^{2}} \cdot \frac{y ^{2} - 6 y + 9}{y ^{2} + 2 y + 4}$ .

Розв’язання

1) $\frac{( a + 4 ) ^{2}}{( a - 1 ) ^{2}} \cdot \frac{7 ( a - 1 )}{( a - 4 ) ( a + 4 )} = \frac{7 ( a + 4 )}{( a - 1 ) ( a - 4 )}$ .
2) $- \frac{( y - 2 ) ( y - 3 ) ^{2}}{( 3 - y ) ( 3 + y )} = - \frac{( y - 2 ) ( 3 - y )}{y + 3} = \frac{( y - 2 ) ( y - 3 )}{y + 3}$ .

Відповідь:

1) $\frac{7 ( a + 4 )}{( a - 1 ) ( a - 4 )}$ ; 2) $\frac{( y - 2 ) ( y - 3 )}{y + 3}$ .

Завдання 5.21

Многочлен на дріб

1) $(4 a + 20 b) \cdot \frac{5}{a ^{2} - 25 b ^{2}}$ ; 2) $(m^{2} - 4) \cdot \frac{2 m}{( m - 2 ) ^{2}}$ ; 3) $- \frac{a}{2 a ^{2} - 18} \cdot (a^{2} - 6 a + 9)$ ; 4) $(x^{3} + 27 y^{3}) \cdot \frac{5}{3 x ^{2} - 9 x y + 27 y ^{2}}$ .

Розв’язання

1) $\frac{4 ( a + 5 b ) \cdot 5}{( a - 5 b ) ( a + 5 b )} = \frac{20}{a - 5 b}$ ; 2) $\frac{2 m ( m + 2 )}{m - 2}$ .
3) $- \frac{a ( a - 3 ) ^{2}}{2 ( a - 3 ) ( a + 3 )} = - \frac{a ( a - 3 )}{2 ( a + 3 )}$ .
4) $\frac{( x + 3 y ) ( x ^{2} - 3 x y + 9 y ^{2} ) \cdot 5}{3 ( x ^{2} - 3 x y + 9 y ^{2} )} = \frac{5 ( x + 3 y )}{3}$ .

Відповідь:

1) $\frac{20}{a - 5 b}$ ; 2) $\frac{2 m ( m + 2 )}{m - 2}$ ; 3) $- \frac{a ( a - 3 )}{2 ( a + 3 )}$ ; 4) $\frac{5 ( x + 3 y )}{3}$ .