ГДЗ · Алгебра · 8 клас

Сторінка 53

Алгебра, Істер, 2025 · № 6.17–6.25 · 9 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 6. Ділення дробів

Завдання 6.17

Значення виразу зі степенями

1) $(\frac{a ^{2} y ^{3}}{5})^{3} : (- \frac{a ^{3} y ^{4}}{25})^{2}$ при $a = 117 \frac{1}{3}$ , $y = 0, 02$ ; 2) $\frac{( 2 x - y ) ^{2}}{( x - 2 y ) ^{2}} : \frac{4 x ^{2} - y ^{2}}{x ^{2} - 4 y ^{2}}$ при $x = 4, 2$ , $y = 1, 6$ .

Розв’язання

1) $\frac{a ^{6} y ^{9}}{125} \cdot \frac{625}{a ^{6} y ^{8}} = 5 y = 0, 1$ .
2) $\frac{( 2 x - y ) ^{2}}{( x - 2 y ) ^{2}} \cdot \frac{( x - 2 y ) ( x + 2 y )}{( 2 x - y ) ( 2 x + y )} = \frac{( 2 x - y ) ( x + 2 y )}{( x - 2 y ) ( 2 x + y )}$ .
$\frac{6 , 8 \cdot 7 , 4}{1 \cdot 10} = 5, 032$ .

Відповідь:

1) 0,1; 2) 5,032.

Завдання 6.18

Десяткові коефіцієнти

Спростіть $\frac{0 , 5 a ^{2} - 32}{0 , 5 a ^{3} - 62 , 5} : \frac{0 , 2 a + 1 , 6}{0 , 2 a ^{2} + a + 5}$ .

Розв’язання

$\frac{0 , 5 ( a ^{2} - 64 )}{0 , 5 ( a ^{3} - 125 )} \cdot \frac{0 , 2 ( a ^{2} + 5 a + 25 )}{0 , 2 ( a + 8 )}$ .
$= \frac{( a - 8 ) ( a + 8 )}{( a - 5 ) ( a ^{2} + 5 a + 25 )} \cdot \frac{a ^{2} + 5 a + 25}{a + 8} = \frac{a - 8}{a - 5}$ .

Відповідь:

$\frac{a - 8}{a - 5}$ .

Завдання 6.19

Довести тотожність

Доведіть: $\frac{m ^{3} + 27}{75 m ^{2} - 12} : \frac{\frac{1}{3} m ^{2} - m + 3}{m - 0 , 4} = \frac{m + 3}{25 m + 10}$ .

Розв’язання

$\frac{( m + 3 ) ( m ^{2} - 3 m + 9 )}{3 ( 5 m - 2 ) ( 5 m + 2 )} \cdot \frac{3 ( 5 m - 2 )}{5 ( m ^{2} - 3 m + 9 )}$ .
$= \frac{m + 3}{5 ( 5 m + 2 )} = \frac{m + 3}{25 m + 10}$ .

Відповідь:

Тотожність доведено.

Завдання 6.20

Групування

Спростіть $\frac{6 ab + 6 - 4 a - 9 b}{a ^{2} - 12 a + 36} : \frac{9 b ^{2} - 12 b + 4}{3 ab - 18 b - 2 a + 12}$ .

Розв’язання

Чисельник: $(2 a - 3) (3 b - 2)$ ; знаменник: $(a - 6)^{2}$ .
Другий дріб: $\frac{( 3 b - 2 ) ^{2}}{( 3 b - 2 ) ( a - 6 )}$ .
$\frac{( 2 a - 3 ) ( 3 b - 2 )}{( a - 6 ) ^{2}} \cdot \frac{( 3 b - 2 ) ( a - 6 )}{( 3 b - 2 ) ^{2}} = \frac{2 a - 3}{a - 6}$ .

Відповідь:

$\frac{2 a - 3}{a - 6}$ .

Завдання 6.21

Групування (ще)

$\frac{a + 4}{x - a} : \frac{ab + 4 b - 2 a - 8}{c x + x y - a c - a y}$ .

Розв’язання

$ab + 4 b - 2 a - 8 = (a + 4) (b - 2)$ .
$\frac{a + 4}{x - a} \cdot \frac{( x - a ) ( c + y )}{( a + 4 ) ( b - 2 )} = \frac{c + y}{b - 2}$ .

Відповідь:

$\frac{c + y}{b - 2}$ .

Завдання 6.22

Дріб як сума двох дробів

1) $\frac{2 a - b}{ab}$ ; 2) $\frac{7 y ^{2} + y ^{3}}{y ^{5}}$ ; 3) $\frac{4 m ^{2} + 5 n ^{2}}{m ^{2} n}$ ; 4) $\frac{18 x - 24 x ^{2} y}{30 y ^{2}}$ .

Розв’язання

1) $\frac{2}{b} - \frac{1}{a}$ ; 2) $\frac{7}{y ^{3}} + \frac{1}{y ^{2}}$ .
3) $\frac{4}{n} + \frac{5 n}{m ^{2}}$ ; 4) $\frac{3 x}{5 y ^{2}} - \frac{4 x ^{2}}{5 y}$ .

Відповідь:

1) $\frac{2}{b} - \frac{1}{a}$ ; 2) $\frac{7}{y ^{3}} + \frac{1}{y ^{2}}$ ; 3) $\frac{4}{n} + \frac{5 n}{m ^{2}}$ ; 4) $\frac{3 x}{5 y ^{2}} - \frac{4 x ^{2}}{5 y}$ .

Завдання 6.23

Обчислити значення дробу

1) $\frac{m ^{2} + 6 mn + 9 n ^{2}}{( 2 m + 6 n ) ^{2}}$ при $m = 2 \frac{1}{13}$ , $n = - 2 \frac{1}{7}$ ; 2) $\frac{0 , 1 x ^{2} - 2 , 5 y ^{2}}{x ^{2} + 10 x y + 25 y ^{2}}$ при $x = 100$ , $y = 20$ .

Розв’язання

1) $\frac{( m + 3 n ) ^{2}}{4 ( m + 3 n ) ^{2}} = \frac{1}{4}$ (бо $m + 3 n \neq = 0$ ).
2) $\frac{0 , 1 ( x - 5 y ) ( x + 5 y )}{( x + 5 y ) ^{2}} = \frac{0 , 1 ( x - 5 y )}{x + 5 y}$ ; $x - 5 y = 0$ , тож значення $0$ .

Відповідь:

1) $\frac{1}{4}$ ; 2) $0$ .

Завдання 6.24

Тотожність-«ланцюжок»

Доведіть: $\frac{1}{1 + x} + \frac{1}{1 - x} + \frac{2}{1 + x ^{2}} + \frac{4}{1 + x ^{4}} = \frac{8}{1 - x ^{8}}$ .

Розв’язання

$\frac{1}{1 + x} + \frac{1}{1 - x} = \frac{2}{1 - x ^{2}}$ .
$\frac{2}{1 - x ^{2}} + \frac{2}{1 + x ^{2}} = \frac{4}{1 - x ^{4}}$ .
$\frac{4}{1 - x ^{4}} + \frac{4}{1 + x ^{4}} = \frac{8}{1 - x ^{8}}$ .

Відповідь:

Тотожність доведено.

Завдання 6.25

Податок на прибуток

Прибуток щомісяця зростав на 10 % (перший місяць — 40 000 грн). Податок — 18 %. Скільки податку сплачено за 3 місяці?

Розв’язання

40 000; 44 000; 48 400 грн — разом 132 400 грн.
132 400 · 0,18 = 23 832 грн.

Відповідь:

23 832 грн.