ГДЗ · Алгебра · 8 клас

Сторінка 52

Алгебра, Істер, 2025 · № 6.10–6.16 · 7 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 6. Ділення дробів

Завдання 6.10

Спростити вираз (ще)

1) $\frac{ab + b ^{2}}{m - 3 n} : \frac{a ^{2} - b ^{2}}{2 m - 6 n}$ ; 2) $\frac{x - 5}{y ^{2} - 4} : \frac{2 x - 10}{3 y - 6}$ ; 3) $\frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} + x} : \frac{x ^{2} + 6 x + 9}{7 x + 7}$ ; 4) $\frac{x - 4 y}{a ^{2} - 2 ab + b ^{2}} : \frac{4 x y - x ^{2}}{a - b}$ .

Розв’язання

1) $\frac{b ( a + b ) \cdot 2 ( m - 3 n )}{( m - 3 n ) ( a - b ) ( a + b )} = \frac{2 b}{a - b}$ .
2) $\frac{( x - 5 ) \cdot 3 ( y - 2 )}{( y - 2 ) ( y + 2 ) \cdot 2 ( x - 5 )} = \frac{3}{2 ( y + 2 )}$ .
3) $\frac{( x - 3 ) ( x + 3 ) \cdot 7 ( x + 1 )}{x ( x + 1 ) ( x + 3 ) ^{2}} = \frac{7 ( x - 3 )}{x ( x + 3 )}$ .
4) $\frac{( x - 4 y ) ( a - b )}{( a - b ) ^{2} \cdot ( - x ) ( x - 4 y )} = - \frac{1}{x ( a - b )}$ .

Відповідь:

1) $\frac{2 b}{a - b}$ ; 2) $\frac{3}{2 ( y + 2 )}$ ; 3) $\frac{7 ( x - 3 )}{x ( x + 3 )}$ ; 4) $- \frac{1}{x ( a - b )}$ .

Завдання 6.11

Експедиція Оксани Савенко

Спростіть $\frac{6 x ^{2} - 3 x y}{m ^{2} + 2 m} : \frac{y - 2 x}{m + 2}$ і знайдіть значення при $x = 10$ , $m = - 2$ .

Розв’язання

$\frac{3 x ( 2 x - y )}{m ( m + 2 )} \cdot \frac{m + 2}{y - 2 x} = - \frac{3 x}{m}$ .
$- \frac{30}{- 2} = 15$ .
Увага: при $m = - 2$ знаменники початкового виразу ( $m^{2} + 2 m$ і $m + 2$ ) дорівнюють нулю, тож строго кажучи вираз там не визначений. Значення 15 отримуємо зі спрощеного виразу — так задумано в задачі.
Біологиня Оксана Савенко провела в антарктичній експедиції 15 місяців.

Відповідь:

15 місяців.

Завдання 6.12

Рекордний телемарафон

Спростіть $\frac{n ^{2} + 3 n}{5 c - p} : \frac{n + 3}{10 p ^{2} - 50 p c}$ і знайдіть значення при $n = 5, 5$ , $p = - 2$ .

Розв’язання

$\frac{n ( n + 3 )}{5 c - p} \cdot \frac{- 10 p ( 5 c - p )}{n + 3} = - 10 n p$ .
$- 10 \cdot 5, 5 \cdot (- 2) = 110$ .
Телемарафон національної пісні 2012 року тривав 110 годин.

Відповідь:

110 годин.

Завдання 6.13

Кілька дій

1) $\frac{4 a ^{2}}{5 b ^{3}} : \frac{8 a ^{3}}{7 c ^{3}} : \frac{14 c ^{2}}{15 b ^{2}}$ ; 2) $\frac{2 a ^{3}}{25 b ^{3}} \cdot \frac{10 b ^{2}}{3 c ^{4}} : \frac{4 a ^{2}}{15 b c}$ ; 3) $\frac{c ^{3}}{18 p ^{4}} : (\frac{9 c ^{2}}{20 p ^{3}} : \frac{27 c ^{3} p}{10})$ ; 4) $\frac{115 a ^{3}}{34 b ^{4}} : \frac{92 a ^{6}}{51 b ^{3}} \cdot \frac{4 b ^{2}}{15 a ^{2}}$ .

Розв’язання

1) $\frac{4 a ^{2}}{5 b ^{3}} \cdot \frac{7 c ^{3}}{8 a ^{3}} \cdot \frac{15 b ^{2}}{14 c ^{2}} = \frac{3 c}{4 ab}$ .
2) $\frac{2 a ^{3}}{25 b ^{3}} \cdot \frac{10 b ^{2}}{3 c ^{4}} \cdot \frac{15 b c}{4 a ^{2}} = \frac{a}{c ^{3}}$ .
3) У дужках: $\frac{9 c ^{2}}{20 p ^{3}} \cdot \frac{10}{27 c ^{3} p} = \frac{1}{6 c p ^{4}}$ ; тоді $\frac{c ^{3}}{18 p ^{4}} \cdot 6 c p^{4} = \frac{c ^{4}}{3}$ .
4) $\frac{115 a ^{3}}{34 b ^{4}} \cdot \frac{51 b ^{3}}{92 a ^{6}} \cdot \frac{4 b ^{2}}{15 a ^{2}} = \frac{b}{2 a ^{5}}$ .

Відповідь:

1) $\frac{3 c}{4 ab}$ ; 2) $\frac{a}{c ^{3}}$ ; 3) $\frac{c ^{4}}{3}$ ; 4) $\frac{b}{2 a ^{5}}$ .

Завдання 6.14

Нескоротний дріб

1) $\frac{3 a ^{2}}{2 b ^{2} c ^{2}} : \frac{7 c ^{6}}{6 b ^{3}} : \frac{9 ab}{14 c ^{2}}$ ; 2) $\frac{7 x ^{3}}{4 y ^{2}} \cdot \frac{216 x ^{6}}{343 y ^{3}} : \frac{18 x ^{8}}{49 y ^{4}}$ .

Розв’язання

1) $\frac{3 a ^{2}}{2 b ^{2} c ^{2}} \cdot \frac{6 b ^{3}}{7 c ^{6}} \cdot \frac{14 c ^{2}}{9 ab} = \frac{2 a}{c ^{6}}$ .
2) $\frac{7 x ^{3}}{4 y ^{2}} \cdot \frac{216 x ^{6}}{343 y ^{3}} \cdot \frac{49 y ^{4}}{18 x ^{8}} = \frac{3 x}{y}$ .

Відповідь:

1) $\frac{2 a}{c ^{6}}$ ; 2) $\frac{3 x}{y}$ .

Завдання 6.15

Ділення з формулами кубів

1) $\frac{9 + 6 a + 4 a ^{2}}{2 a - 1} : \frac{27 - 8 a ^{3}}{1 - 4 a ^{2}}$ ; 2) $\frac{8 + x ^{3}}{16 - x ^{4}} : \frac{x ^{2} - 2 x + 4}{x ^{2} + 4}$ ; 3) $(25 x^{2} - 10 x y + y^{2}) : \frac{y ^{2} - 5 x y}{7}$ ; 4) $\frac{( 6 y - 4 x ) ^{2}}{3} : (9 y^{2} - 12 x y + 4 x^{2})$ .

Розв’язання

1) $\frac{9 + 6 a + 4 a ^{2}}{2 a - 1} \cdot \frac{( 1 - 2 a ) ( 1 + 2 a )}{( 3 - 2 a ) ( 9 + 6 a + 4 a ^{2} )} = \frac{- ( 1 + 2 a )}{3 - 2 a} = \frac{2 a + 1}{2 a - 3}$ .
2) $\frac{( 2 + x ) ( 4 - 2 x + x ^{2} )}{( 2 - x ) ( 2 + x ) ( 4 + x ^{2} )} \cdot \frac{x ^{2} + 4}{x ^{2} - 2 x + 4} = \frac{1}{2 - x}$ .
3) $(5 x - y)^{2} \cdot \frac{7}{- y ( 5 x - y )} = - \frac{7 ( 5 x - y )}{y}$ .
4) $\frac{4 ( 3 y - 2 x ) ^{2}}{3} \cdot \frac{1}{( 3 y - 2 x ) ^{2}} = \frac{4}{3}$ .

Відповідь:

1) $\frac{2 a + 1}{2 a - 3}$ ; 2) $\frac{1}{2 - x}$ ; 3) $\frac{7 ( y - 5 x )}{y}$ ; 4) $\frac{4}{3}$ .

Завдання 6.16

Значення виразу

1) $\frac{x ^{3} - 8}{9 x ^{2} - 16} : \frac{x ^{2} + 2 x + 4}{3 x - 4}$ при $x = - 3$ ; 2) $(m^{2} - 10 mn + 25 n^{2}) : \frac{0 , 2 m ^{2} - 5 n ^{2}}{5}$ при $m = 10$ , $n = 3$ .

Розв’язання

1) $\frac{( x - 2 ) ( x ^{2} + 2 x + 4 )}{( 3 x - 4 ) ( 3 x + 4 )} \cdot \frac{3 x - 4}{x ^{2} + 2 x + 4} = \frac{x - 2}{3 x + 4}$ ; при $x = - 3$ : $\frac{- 5}{- 5} = 1$ .
2) $\frac{5 ( m - 5 n ) ^{2}}{0 , 2 ( m - 5 n ) ( m + 5 n )} = \frac{25 ( m - 5 n )}{m + 5 n}$ ; $\frac{25 \cdot ( - 5 )}{25} = - 5$ .

Відповідь:

1) 1; 2) −5.