ГДЗ · Алгебра · 8 клас

Сторінка 65

Алгебра, Істер, 2025 · № 8.1–8.10 · 10 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 8. Раціональні рівняння

Завдання 8.1

Цілі та дробові рівняння (усно)

1) $\frac{2}{x} + \frac{x}{3} = 1$ ; 2) $x^{2} - 2 x (x + 3) = x - 7$ ; 3) $\frac{x + 2}{4} - \frac{x - 3}{8} = 15$ ; 4) $\frac{4}{x + 2} - \frac{8}{x - 3} = 15$ .

Розв’язання

2) і 3) — цілі рівняння (ділимо лише на числа).
1) і 4) — дробові (змінна в знаменнику).

Відповідь:

Цілі: 2), 3); дробові: 1), 4).

Завдання 8.2

Чи є 1 коренем

1) $\frac{x}{x + 2} = 0$ ; 2) $\frac{x - 1}{x + 2} = 0$ ; 3) $\frac{x}{x - 1} = 0$ ; 4) $\frac{x ^{2} - 1}{x} = 0$ ?

Розв’язання

1) $\frac{1}{3} \neq = 0$ — ні; 2) $\frac{0}{3} = 0$ — так.
3) знаменник $0$ — ні; 4) $\frac{0}{1} = 0$ — так.

Відповідь:

1) ні; 2) так; 3) ні; 4) так.

Завдання 8.3

Чи є 2 коренем

1) $\frac{x - 2}{x + 3} = 0$ ; 2) $\frac{x}{x + 3} = 0$ ; 3) $\frac{x}{x - 2} = 0$ ; 4) $\frac{4 - x ^{2}}{x + 1} = 0$ ?

Розв’язання

1) $0$ — так; 2) $\frac{2}{5}$ — ні.
3) знаменник $0$ — ні; 4) $\frac{0}{3} = 0$ — так.

Відповідь:

1) так; 2) ні; 3) ні; 4) так.

Завдання 8.4

Найпростіші дробові рівняння

1) $\frac{x}{x - 2} = 0$ ; 2) $\frac{x - 3}{x} = 0$ ; 3) $\frac{x + 2}{x - 1} = 0$ ; 4) $\frac{x + 5}{x} = 0$ .

Розв’язання

1) $x = 0$ ; 2) $x = 3$ .
3) $x = - 2$ ; 4) $x = - 5$ .

Відповідь:

1) 0; 2) 3; 3) −2; 4) −5.

Завдання 8.5

Найпростіші дробові рівняння (ще)

1) $\frac{x}{x + 1} = 0$ ; 2) $\frac{x - 2}{x} = 0$ ; 3) $\frac{x + 3}{x - 4} = 0$ ; 4) $\frac{x + 7}{x} = 0$ .

Розв’язання

1) $0$ ; 2) $2$ ; 3) $- 3$ ; 4) $- 7$ — у всіх випадках знаменник не нуль.

Відповідь:

1) 0; 2) 2; 3) −3; 4) −7.

Завдання 8.6

Дріб дорівнює нулю

1) $\frac{2 x - 8}{x + 4} = 0$ ; 2) $\frac{3 x + 7}{x} = 0$ ; 3) $\frac{x ^{2}}{x - 9} = 0$ ; 4) $\frac{x - 1}{1 - x} = 0$ .

Розв’язання

1) $x = 4$ ; 2) $x = - \frac{7}{3}$ ; 3) $x = 0$ .
4) $x = 1$ , але тоді знаменник $0$ — коренів немає.

Відповідь:

1) $4$ ; 2) $- 2 \frac{1}{3}$ ; 3) $0$ ; 4) коренів немає.

Завдання 8.7

Дріб дорівнює нулю (ще)

1) $\frac{3 x + 12}{x - 4} = 0$ ; 2) $\frac{2 x - 5}{x} = 0$ ; 3) $\frac{x ^{2}}{x + 1} = 0$ ; 4) $\frac{2 - x}{x - 2} = 0$ .

Розв’язання

1) $- 4$ ; 2) $2, 5$ ; 3) $0$ .
4) $x = 2$ — знаменник нуль, коренів немає.

Відповідь:

1) −4; 2) 2,5; 3) 0; 4) коренів немає.

Завдання 8.8

Знайти корені

1) $2 - \frac{x + 3}{x} = 0$ ; 2) $\frac{x}{x + 2} = 2$ ; 3) $\frac{x}{x - 4} = \frac{9}{5}$ ; 4) $\frac{3}{x - 2} = \frac{2}{x - 3}$ .

Розв’язання

1) $2 x - x - 3 = 0$ , $x = 3$ .
2) $x = 2 x + 4$ , $x = - 4$ .
3) $5 x = 9 x - 36$ , $x = 9$ .
4) $3 (x - 3) = 2 (x - 2)$ , $x = 5$ .

Відповідь:

1) 3; 2) −4; 3) 9; 4) 5.

Завдання 8.9

Знайти корені (ще)

1) $\frac{2 x + 1}{x} - 3 = 0$ ; 2) $\frac{x}{x - 4} = 5$ ; 3) $\frac{x}{x + 2} = \frac{5}{3}$ ; 4) $\frac{5}{x - 2} = \frac{3}{x + 4}$ .

Розв’язання

1) $2 x + 1 = 3 x$ , $x = 1$ .
2) $x = 5 x - 20$ , $x = 5$ .
3) $3 x = 5 x + 10$ , $x = - 5$ .
4) $5 (x + 4) = 3 (x - 2)$ , $x = - 13$ .

Відповідь:

1) 1; 2) 5; 3) −5; 4) −13.

Завдання 8.10

Рівносильні рівняння?

1) $\frac{x}{x - 2} = \frac{4}{x - 2}$ і $\frac{x - 5}{x} = \frac{3 - x}{x}$ ; 2) $\frac{x ^{2} + 2 x}{x - 3} = \frac{x ^{2} - 4}{x - 3}$ і $\frac{2 x - 3}{3 x} - \frac{x - 2}{3 x} = 0$ .

Розв’язання

1) Перше: $x = 4$ ; друге: $x - 5 = 3 - x$ , $x = 4$ . Рівносильні.
2) Перше: $2 x = - 4$ , $x = - 2$ ; друге: $x - 1 = 0$ , $x = 1$ . Не рівносильні.

Відповідь:

1) так; 2) ні.