ГДЗ · Алгебра · 8 клас

Сторінка 66

Алгебра, Істер, 2025 · № 8.11–8.19 · 9 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 8. Раціональні рівняння

Завдання 8.11

Рівносильні рівняння? (ще)

1) $\frac{x - 4}{x} = \frac{2 - x}{x}$ і $\frac{x}{x + 1} = \frac{3}{x + 1}$ ; 2) $\frac{x ^{2} - x}{x - 1} = \frac{x ^{2} + 5}{x - 1}$ і $\frac{3 x - 1}{2 x} - \frac{2 x - 5}{2 x} = 0$ .

Розв’язання

1) Обидва мають корінь $x = 3$ — рівносильні.
2) Перше: $- x = 5$ , $x = - 5$ ; друге: $x + 4 = 0$ , $x = - 4$ — не рівносильні.

Відповідь:

1) так; 2) ні.

Завдання 8.12

Пропорція (1)

1) $\frac{2 x ^{2} - 1}{x + 1} = 2 x$ ; 2) $\frac{3 x ^{2} + 1}{x} = 3 x - 1$ ; 3) $\frac{x - 3}{2 x ^{2} + 1} = \frac{1}{2 x}$ ; 4) $\frac{4 x ^{2} - 3}{2 x - 1} = 2 x + 3$ .

Розв’язання

1) $2 x^{2} - 1 = 2 x^{2} + 2 x$ , $x = - \frac{1}{2}$ .
2) $3 x^{2} + 1 = 3 x^{2} - x$ , $x = - 1$ .
3) $2 x^{2} - 6 x = 2 x^{2} + 1$ , $x = - \frac{1}{6}$ .
4) $4 x^{2} - 3 = 4 x^{2} + 4 x - 3$ , $x = 0$ .

Відповідь:

1) $- \frac{1}{2}$ ; 2) $- 1$ ; 3) $- \frac{1}{6}$ ; 4) $0$ .

Завдання 8.13

Пропорція (2)

1) $\frac{3 x ^{2} + 2}{x - 2} = 3 x$ ; 2) $\frac{2 x ^{2} - 1}{x} = 2 x + 1$ ; 3) $\frac{2 x - 3}{2 x ^{2} + 3} = \frac{1}{x}$ ; 4) $\frac{6 x ^{2} - 1}{2 x + 3} = 3 x - 1$ .

Розв’язання

1) $3 x^{2} + 2 = 3 x^{2} - 6 x$ , $x = - \frac{1}{3}$ .
2) $2 x^{2} - 1 = 2 x^{2} + x$ , $x = - 1$ .
3) $2 x^{2} - 3 x = 2 x^{2} + 3$ , $x = - 1$ .
4) $6 x^{2} - 1 = 6 x^{2} + 7 x - 3$ , $x = \frac{2}{7}$ .

Відповідь:

1) $- \frac{1}{3}$ ; 2) $- 1$ ; 3) $- 1$ ; 4) $\frac{2}{7}$ .

Завдання 8.14

Дріб 2/3 зі знаменником на 5 більшим

Знайдіть дріб, що дорівнює 2/3, у якого знаменник на 5 більший за чисельник.

Розв’язання

$3 x = 2 x + 10$ , $x = 10$ .
Дріб $\frac{10}{15}$ .

Відповідь:

10/15.

Завдання 8.15

Дріб 1/5 з чисельником на 12 меншим

Знайдіть дріб, що дорівнює 1/5, у якого чисельник на 12 менший від знаменника.

Розв’язання

$5 x - 60 = x$ , $x = 15$ .
Дріб $\frac{3}{15}$ .

Відповідь:

3/15.

Завдання 8.16

Що додати до чисельника

Яке число треба додати до чисельника дробу 3/10, щоб отримати 1/2?

Розв’язання

$3 + y = 5$ , $y = 2$ .

Відповідь:

Завдання 8.17

Що відняти від знаменника

Яке число треба відняти від знаменника дробу 5/18, щоб отримати 1/3?

Розв’язання

$18 - y = 15$ , $y = 3$ .

Відповідь:

Завдання 8.18

Множення на спільний знаменник (1)

1) $\frac{x + 4}{2 x - 1} - \frac{x + 8}{2 x + 1} = 0$ ; 2) $\frac{1}{5 x} - \frac{1}{10 x} = \frac{1}{30}$ ; 3) $2 + \frac{1}{x - 2} = \frac{8 - x}{2 - x}$ ; 4) $\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{5 x - 5} = \frac{1}{10}$ .

Розв’язання

1) $(x + 4) (2 x + 1) = (x + 8) (2 x - 1)$ , $6 x = 12$ , $x = 2$ .
2) Множимо на $30 x$ : $6 - 3 = x$ , $x = 3$ .
3) $2 (x - 2) + 1 = x - 8$ , $x = - 5$ .
4) $\frac{4}{5 ( x - 1 )} = \frac{1}{10}$ , $x - 1 = 8$ , $x = 9$ .

Відповідь:

1) 2; 2) 3; 3) −5; 4) 9.

Завдання 8.19

Множення на спільний знаменник (2)

1) $\frac{x + 1}{3 x + 1} - \frac{x}{3 x - 1} = 0$ ; 2) $\frac{1}{6 x} - \frac{1}{2 x} = \frac{1}{6}$ ; 3) $3 + \frac{1}{1 - x} = \frac{x}{x - 1}$ ; 4) $\frac{1}{4 x + 4} - \frac{1}{x + 1} = \frac{3}{8}$ .

Розв’язання

1) $(x + 1) (3 x - 1) = x (3 x + 1)$ , $x = 1$ .
2) $- \frac{2}{6 x} = \frac{1}{6}$ , $x = - 2$ .
3) $3 (x - 1) - 1 = x$ , $x = 2$ .
4) $- \frac{3}{4 ( x + 1 )} = \frac{3}{8}$ , $x + 1 = - 2$ , $x = - 3$ .

Відповідь:

1) 1; 2) −2; 3) 2; 4) −3.