Доведіть, що бісектриси кутів прямокутника, який не є квадратом, при перетині утворюють квадрат.
Розв’язання
Нехай ABCD — прямокутник, AB < AD. Бісектриси сусідніх кутів утворюють кути 90°, тож отриманий чотирикутник PQRS — прямокутник (P — перетин бісектрис A і B, R — C і D, S — A і D).
Трикутник ASD рівнобедрений (кути при основі по 45°): AS = DS.
Трикутники ABP і DCR рівні (гіпотенузи AB = DC, кути 45°), тож AP = DR.
SP = AS − AP = DS − DR = SR — сусідні сторони рівні, отже PQRS — квадрат.
Відповідь:
Доведено.
Розбір зрозумілий?
§ 13. Ознаки подібності трикутниківЗавдання 13.50с. 93
Бісектриси кутів прямокутника утворюють квадрат
Умова
Доведіть, що бісектриси кутів прямокутника, який не є квадратом, при перетині утворюють квадрат.
Що треба знати
Бісектриси сусідніх кутів прямокутника перпендикулярні. Прямокутник з рівними сусідніми сторонами — квадрат.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Спершу доведи, що це прямокутник.
Розв’язання крок за кроком
Нехай ABCD — прямокутник, AB < AD. Бісектриси сусідніх кутів утворюють кути 90°, тож отриманий чотирикутник PQRS — прямокутник (P — перетин бісектрис A і B, R — C і D, S — A і D).
Трикутник ASD рівнобедрений (кути при основі по 45°): AS = DS.
Трикутники ABP і DCR рівні (гіпотенузи AB = DC, кути 45°), тож AP = DR.
SP = AS − AP = DS − DR = SR — сусідні сторони рівні, отже PQRS — квадрат.
