ГДЗ Геометрія 8 клас Істер — сторінка 93

Завдання 13.36

Рівні кути при вершині, сторони 4 : 7

Кути при вершинах двох рівнобедрених трикутників рівні. Периметр першого 90 см, сторони другого 4 : 7. Знайдіть сторони першого. Скільки випадків?

Розв’язання

Випадок 1: бічні 4, основа 7 (існує: 8 > 7): 15x = 90, x = 6 — 24, 24, 42 см.
Випадок 2: бічні 7, основа 4: 18x = 90, x = 5 — 35, 35, 20 см.

Відповідь:

Два випадки: 24, 24, 42 см або 35, 35, 20 см.

Завдання 13.37

Рівні кути при основі, сторони 5 : 8

Кути при основах двох рівнобедрених трикутників рівні. Сторони одного 5 : 8, периметр другого 126 см. Знайдіть сторони другого. Скільки випадків?

Розв’язання

Бічні 5, основа 8 (10 > 8): 18x = 126, x = 7 — 35, 35, 56 см.
Бічні 8, основа 5: 21x = 126, x = 6 — 48, 48, 30 см.

Відповідь:

Два випадки: 35, 35, 56 см або 48, 48, 30 см.

Завдання 13.38

Бісектриси подібних трикутників

△ABC ∼ △A₁B₁C₁, CD і C₁D₁ — бісектриси. Доведіть, що △ADC ∼ △A₁D₁C₁.

Розв’язання

∠A = ∠A₁, ∠ACD = ∠C : 2 = ∠C₁ : 2 = ∠A₁C₁D₁.
За двома кутами — подібні.

Відповідь:

Доведено.

Завдання 13.39

Медіани подібних трикутників

△ABC ∼ △A₁B₁C₁, AM і A₁M₁ — медіани. Доведіть, що △AMC ∼ △A₁M₁C₁.

Розв’язання

$\frac{M C}{M _{1} C _{1}} = \frac{B C}{B _{1} C _{1}} = k = \frac{A C}{A _{1} C _{1}}$ , і $∠ C = ∠ C_{1}$ .
За двома сторонами й кутом — подібні.

Відповідь:

Доведено.

Завдання 13.40

Знайти BC

F на BC, ∠BAF = ∠C, BF = 4 см, AB = 6 см. Знайдіть BC.

Розв’язання

Кут B спільний, ∠BAF = ∠BCA — △BAF ∼ △BCA.
$\frac{B A}{B C} = \frac{B F}{B A}$ , $B C = \frac{36}{4} = 9$ см.

Відповідь:

9 см.

Завдання 13.41

Знайти KC

K на AC, ∠ABK = ∠C, AB = 2 см, AK = 1 см. Знайдіть KC.

Розв’язання

$\frac{A B}{A C} = \frac{A K}{A B}$ , $A C = \frac{4}{1} = 4$ см.
KC = 4 − 1 = 3 см.

Відповідь:

3 см.

Завдання 13.42

Квадрат у прямокутному трикутнику

У прямокутний △ABC з катетами AB = a і AC = b (∠A = 90°) вписано квадрат AKLM (K ∈ AB, L ∈ BC, M ∈ AC). Знайдіть сторону квадрата.

Розв’язання

Нехай сторона $s$ . △KBL ∼ △ABC: $\frac{K B}{A B} = \frac{K L}{A C}$ , тобто $\frac{a - s}{a} = \frac{s}{b}$ .
$ab - b s = a s$ , $s = \frac{ab}{a + b}$ .

Відповідь:

$\frac{ab}{a + b}$ см.

Завдання 13.43

Сторони за відношенням висот

Периметр паралелограма 24 см, висоти відносяться як 5 : 3. Знайдіть сторони.

Розв’язання

Трикутники, утворені висотами з однієї вершини й сторонами, подібні (спільний гострий кут), тож висоти обернено пропорційні сторонам: a : b = 3 : 5.
3x + 5x = 12, x = 1,5: 4,5 см і 7,5 см.

Відповідь:

4,5 см і 7,5 см.

Завдання 13.44

Сторони за висотами 4 і 8 см

Периметр паралелограма 30 см, висоти 4 см і 8 см. Знайдіть сторони.

Розв’язання

a : b = 8 : 4 = 2 : 1, a + b = 15.
a = 10 см (до неї висота 4 см), b = 5 см.

Відповідь:

10 см і 5 см.

Завдання 13.45

Ромб у трикутнику

У △ABC вписано ромб AKFP (кут A спільний, P ∈ AB, F ∈ BC, K ∈ AC), CK = 4 см, PB = 9 см. Знайдіть сторону ромба.

Розв’язання

△CKF ∼ △CAB (KF ∥ AB) і △FPB ∼ △CAB (FP ∥ AC), тож △CKF ∼ △FPB.
$\frac{C K}{F P} = \frac{K F}{P B}$ : $\frac{4}{s} = \frac{s}{9}$ , $s^{2} = 36$ .
s = 6 см.

Відповідь:

6 см.

Завдання 13.46

Відстань між точками дотику

У рівнобедрений трикутник з основою 6 см і бічною стороною 10 см вписано коло. Знайдіть відстань між точками дотику до бічних сторін.

Розв’язання

Від вершин основи до точок дотику — по 3 см (половина основи), отже від вершини B — по 10 − 3 = 7 см.
Відрізок MN ∥ основі, △BMN ∼ △BAC: $M N = 6 \cdot \frac{7}{10} = 4, 2$ см.

Відповідь:

4,2 см.

Завдання 13.47

Три рівні середні лінії

Знайдіть кути трикутника, якщо три його середні лінії рівні.

Розв’язання

Усі сторони рівні — трикутник рівносторонній.

Відповідь:

60°, 60°, 60°.

Завдання 13.48

KE = KF у рівнобічній трапеції

У рівнобічній трапеції ABCD (AD ∥ BC) E — середина AD, F — середина BC, K — середина AB. Доведіть, що KE = KF.

Розв’язання

KE — середня лінія △ABD: KE = BD/2.
KF — середня лінія △ABC: KF = AC/2.
AC = BD, тож KE = KF.

Відповідь:

Доведено.

Завдання 13.49

Периметр паралелограма в рівнобедреному трикутнику

Бічні сторони рівнобедреного трикутника по a см. З точки на основі проведено прямі, паралельні бічним сторонам. Знайдіть периметр утвореного паралелограма.

Розв’язання

Нехай точка D на основі AC, DE ∥ BC (E на AB), DF ∥ AB (F на BC).
Трикутник AED рівнобедрений (∠EDA = ∠C = ∠A), тож ED = AE; тоді BE + ED = BE + EA = a.
P = 2(BE + ED) = 2a.

Відповідь:

2a см.

Завдання 13.50

Бісектриси кутів прямокутника утворюють квадрат

Доведіть, що бісектриси кутів прямокутника, який не є квадратом, при перетині утворюють квадрат.

Розв’язання

Нехай ABCD — прямокутник, AB < AD. Бісектриси сусідніх кутів утворюють кути 90°, тож отриманий чотирикутник PQRS — прямокутник (P — перетин бісектрис A і B, R — C і D, S — A і D).
Трикутник ASD рівнобедрений (кути при основі по 45°): AS = DS.
Трикутники ABP і DCR рівні (гіпотенузи AB = DC, кути 45°), тож AP = DR.
SP = AS − AP = DS − DR = SR — сусідні сторони рівні, отже PQRS — квадрат.

Відповідь:

Доведено.