Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».
§ 6. Трапеція
На яких малюнках 6.7–6.11 (паралелограм, чотирикутник з двома вертикальними сторонами, «перевернута» рівнобічна трапеція, прямокутник, чотирикутник без паралельних сторін) зображено трапецію?
Розв’язання
Мал. 6.8 і 6.9 — одна пара сторін паралельна, це трапеції.
Мал. 6.7 і 6.10 — паралелограм і прямокутник (дві пари паралельних сторін).
Мал. 6.11 — жодної пари паралельних сторін.
Мал. 6.8 і 6.9.
Накресліть трапецію PKML (PK ∥ ML). Укажіть основи й бічні сторони.
Розв’язання
Основи: PK і ML.
Бічні сторони: KM і LP.
Основи PK і ML; бічні сторони KM і LP.
Накресліть трапецію DMFK (DM ∥ FK). Укажіть основи й бічні сторони.
Розв’язання
Основи: DM і FK.
Бічні сторони: MF і KD.
Основи DM і FK; бічні сторони MF і KD.
Накресліть прямокутну трапецію ABCD (∠A = ∠B = 90°).
Розв’язання
Проведи відрізок AB і в його кінцях — перпендикуляри в один бік.
На них відклади різні відрізки AD і BC та сполучи C і D.
Побудова: AB ⟂ AD, AB ⟂ BC, AD ≠ BC.
Накресліть рівнобічну трапецію ABCD (AB = CD).
Розв’язання
Проведи основу AD і побудуй при A і D рівні гострі кути.
На сторонах кутів відклади рівні відрізки AB = DC і сполучи B і C.
Побудова: ∠A = ∠D, AB = CD.
Два кути трапеції 30° і 110°. Знайдіть два інших.
Розв’язання
Кут, суміжний по бічній стороні з 30°: 150°.
Кут, суміжний по бічній стороні з 110°: 70°.
150° і 70°.
Два кути трапеції 100° і 50°. Знайдіть два інших.
Розв’язання
180° − 100° = 80°; 180° − 50° = 130°.
80° і 130°.
Основи рівнобічної трапеції 8 і 10 см, периметр 28 см. Знайдіть бічну сторону.
Розв’язання
2c = 28 − 8 − 10 = 10, c = 5 см.
5 см.
Основи 7 і 5 см, бічна сторона 3 см. Знайдіть периметр.
Розв’язання
P = 7 + 5 + 3 + 3 = 18 см.
18 см.
Чи існує трапеція, у якої два протилежні кути: 1) гострі; 2) прямі; 3) тупі?
Розв’язання
1) Так: наприклад, ∠A = 60°, ∠B = 120°, ∠C = 70°, ∠D = 110° (AD ∥ BC) — кути A і C гострі. Обидві бічні сторони нахилені в один бік.
2) Ні: якщо ∠A = ∠C = 90°, то ∠B = ∠D = 90° — це прямокутник.
3) Так: у тій самій трапеції тупі протилежні кути B і D.
1) так; 2) ні; 3) так.
Чи існує трапеція, у якої: 1) основи рівні; 2) три сторони рівні?
Розв’язання
1) Ні: дві рівні й паралельні сторони — ознака паралелограма.
2) Так: рівнобічна трапеція, у якої бічні сторони дорівнюють меншій основі (наприклад, половина правильного шестикутника: основи 1 і 2, бічні сторони 1).
1) ні; 2) так.
Чи існує трапеція, у якої: 1) три кути прямі; 2) два протилежні кути рівні?
Розв’язання
1) Ні: четвертий кут теж 90°, вийде прямокутник.
2) Ні: якщо ∠A = ∠C, то ∠B = 180° − ∠A і ∠D = 180° − ∠C = ∠B. Протилежні кути попарно рівні — це паралелограм.
1) ні; 2) ні.
AD і BC — основи трапеції ABCD. Доведіть, що ∠CAD = ∠ACB.
Розв’язання
AD ∥ BC, AC — січна.
∠CAD і ∠ACB — внутрішні різносторонні, тому рівні.
Доведено.
Чи можуть послідовні кути трапеції відноситися як: 1) 2 : 3 : 4 : 1; 2) 2 : 3 : 5 : 2?
Розв’язання
1) 10 частин, 1 частина 36°: 72°, 108°, 144°, 36°. 72 + 108 = 180 і 144 + 36 = 180, а 108 + 144 ≠ 180 — це трапеція.
2) 12 частин, 30°: 60°, 90°, 150°, 60°. Ні 60 + 90, ні 90 + 150 не дорівнює 180 — не може.
1) так; 2) ні.
Чи можуть послідовні кути трапеції відноситися як: 1) 3 : 1 : 2 : 2; 2) 3 : 1 : 2 : 4?
Розв’язання
1) 8 частин по 45°: 135°, 45°, 90°, 90°. 135 + 45 = 180, 90 + 90 = 180 — так (прямокутна трапеція).
2) 10 частин по 36°: 108°, 36°, 72°, 144°. 108 + 36 ≠ 180 і 36 + 72 ≠ 180 — ні.
1) так; 2) ні.