Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».
§ 6. Трапеція
У трапеції, яка не є рівнобічною, два кути 40° і 140°. Чи можна знайти два інших?
Розв’язання
Якби 40° і 140° були при різних бічних сторонах, інші кути були б 140° і 40° — протилежні кути попарно рівні, тобто паралелограм.
Отже, 40° і 140° прилягають до однієї бічної сторони, а два інші кути дають у сумі 180°, але можуть бути будь-якими.
Ні, однозначно знайти не можна.
Висота рівнобічної трапеції з вершини гострого кута утворює з бічною стороною кут 42°. Знайдіть кути трапеції.
Розв’язання
Висота з A перпендикулярна до AD, тож ∠A = 90° − 42° = 48°.
Кути: 48°, 48°, 132°, 132°.
48°, 48°, 132°, 132°.
Висота рівнобічної трапеції з вершини тупого кута утворює з бічною стороною кут 54°. Знайдіть кути.
Розв’язання
∠A = 90° − 54° = 36°.
Кути: 36°, 36°, 144°, 144°.
36°, 36°, 144°, 144°.
У трапеції ABCD AB — більша основа, прямі BC і AD перетинаються в E, ∠ECD = 40°, ∠BEA = 70°. Знайдіть кути трапеції.
Розв’язання
У △ECD: ∠EDC = 180° − 70° − 40° = 70°.
CD ∥ AB: ∠ABC = ∠ECD = 40°, ∠BAD = ∠EDC = 70°.
∠BCD = 180° − 40° = 140°, ∠ADC = 180° − 70° = 110°.
∠A = 70°, ∠B = 40°, ∠C = 140°, ∠D = 110°.
У трапеції ABCD BC — менша основа, E на AD, BE ∥ CD, ∠ABE = 60°, ∠BEA = 40°. Знайдіть кути трапеції.
Розв’язання
У △ABE: ∠A = 180° − 60° − 40° = 80°.
BE ∥ CD: ∠D = ∠BEA = 40° (відповідні).
∠B = 180° − 80° = 100°, ∠C = 180° − 40° = 140°.
∠A = 80°, ∠B = 100°, ∠C = 140°, ∠D = 40°.
У прямокутній трапеції гострий кут удвічі менший від тупого. Знайдіть кути.
Розв’язання
x = 60°, тупий 120°.
90°, 90°, 60°, 120°.
У прямокутній трапеції тупий кут на 40° більший за гострий. Знайдіть кути.
Розв’язання
x = 70°, тупий 110°.
90°, 90°, 70°, 110°.
У рівнобічній трапеції бічна сторона вдвічі більша за висоту. Знайдіть кути.
Розв’язання
Висота — катет, що вдвічі менший від гіпотенузи (бічної сторони), тож гострий кут трапеції 30°.
Кути: 30°, 30°, 150°, 150°.
30°, 30°, 150°, 150°.
У трапеції ABCD ∠A + ∠C = 180°. Визначте вид трапеції.
Розв’язання
Якщо AD ∥ BC, то ∠A + ∠B = 180° і ∠C + ∠D = 180°.
З ∠A + ∠C = 180° маємо ∠B = ∠C і ∠D = ∠A — кути при основах рівні.
За ознакою трапеція рівнобічна (так само, якщо AB ∥ CD).
Рівнобічна.
У прямокутній трапеції гострий кут 60°, більша бічна сторона і більша основа — по 16 см. Знайдіть меншу основу.
Розв’язання
ABCD: ∠A = ∠B = 90°, ∠D = 60°, CD = AD = 16 см. Висота CH: у △CHD ∠DCH = 30°, тож HD = CD/2 = 8 см.
BC = AH = 16 − 8 = 8 см.
8 см.
У прямокутній трапеції гострий кут 45°, менша бічна сторона і менша основа — по 18 см. Знайдіть більшу основу.
Розв’язання
Висота CH = AB = 18 см, у △CHD кут D = 45°, тож HD = CH = 18 см.
AD = AH + HD = 18 + 18 = 36 см.
36 см.
У рівнобічній трапеції діагональ дорівнює більшій основі й утворює з нею кут 40°. Знайдіть кути.
Розв’язання
AC = AD, ∠CAD = 40°, тож ∠ACD = ∠ADC = 70°.
∠A = ∠D = 70°, ∠B = ∠C = 110°.
70°, 70°, 110°, 110°.
У рівнобічній трапеції бічна сторона дорівнює меншій основі, а діагональ утворює з цією основою кут 20°. Знайдіть кути.
Розв’язання
AB = BC, тому ∠BAC = ∠BCA = 20°, ∠B = 140°.
∠CAD = ∠BCA = 20°, тож ∠A = 40°.
40°, 40°, 140°, 140°.
Діагональ AC трапеції ABCD ділить кут A навпіл. Доведіть, що AB = BC.
Розв’язання
∠BAC = ∠CAD (бісектриса), ∠CAD = ∠BCA (різносторонні при AD ∥ BC).
Отже, ∠BAC = ∠BCA, △ABC рівнобедрений: AB = BC.
Доведено.
O — точка перетину бісектрис кутів A і B трапеції ABCD (AD ∥ BC). Доведіть, що ∠AOB = 90°.
Розв’язання
∠A/2 + ∠B/2 = 90°.
У △AOB: ∠AOB = 180° − 90° = 90°.
Доведено.
Висота рівнобічної трапеції з вершини тупого кута ділить більшу основу на 2 см і 7 см. Знайдіть основи.
Розв’язання
AD = 2 + 7 = 9 см.
BC = 7 − 2 = 5 см.
9 см і 5 см.
Доведіть: якщо діагоналі трапеції рівні, то вона рівнобічна.
Розв’язання
Через C проведемо CE ∥ BD (E на продовженні AD). BCED — паралелограм, CE = BD = AC.
△ACE рівнобедрений: ∠CAE = ∠CEA = ∠BDA (відповідні).
△ACD = △DBA: AC = DB, AD — спільна, ∠CAD = ∠BDA. Тому CD = BA.
Доведено.
Менша основа рівнобічної трапеції дорівнює бічній стороні, а діагональ перпендикулярна до бічної сторони. Знайдіть кути.
Розв’язання
AB = BC: ∠BAC = ∠BCA = x; ∠CAD = ∠BCA = x, тож ∠A = ∠D = 2x.
У △ACD: ∠ACD = 90°, x + 2x = 90°, x = 30°.
∠A = ∠D = 60°, ∠B = ∠C = 120°.
60°, 60°, 120°, 120°.
У рівнобічній трапеції ABCD AD — більша основа, AD = CD, ∠BAC = 18°. Знайдіть кути.
Розв’язання
∠CAD = α − 18°; △ACD рівнобедрений (AD = CD): ∠DCA = ∠DAC = α − 18°.
α + 2(α − 18°) = 180°, α = 72°.
Кути: 72°, 72°, 108°, 108°.
72°, 72°, 108°, 108°.