ГДЗ · Геометрія · 8 клас

Сторінка 85

Геометрія, Істер, 2025 · № 12.11–12.18 · 8 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 12. Подібні трикутники

Завдання 12.11

Рівносторонні трикутники подібні

Доведіть, що два рівносторонні трикутники подібні.

Розв’язання

Усі кути обох трикутників по 60°, тобто відповідно рівні.
Якщо сторони $a$ і $b$ , то кожне відношення відповідних сторін дорівнює $\frac{a}{b}$ — сторони пропорційні.

Відповідь:

Доведено.

Завдання 12.12

Периметри 2 : 3, сума найбільших сторін 20 см

Периметри подібних трикутників відносяться як 2 : 3, сума їх найбільших сторін 20 см, сторони одного відносяться як 2 : 3 : 4. Знайдіть сторони.

Розв’язання

Найбільші сторони: 2x + 3x = 20, x = 4: 8 і 12 см.
Менший трикутник: найбільша 8 = 4 частини, частина 2: 4, 6, 8 см.
Більший: 6, 9, 12 см.

Відповідь:

4, 6, 8 см і 6, 9, 12 см.

Завдання 12.13

Периметри 4 : 3, сума найменших сторін 21 см

Периметри подібних трикутників відносяться як 4 : 3, сума їх найменших сторін 21 см, сторони одного 3 : 4 : 5. Знайдіть сторони.

Розв’язання

4y + 3y = 21, y = 3: найменші сторони 12 і 9 см.
Більший: 12 = 3 частини, частина 4: 12, 16, 20 см.
Менший: 9, 12, 15 см.

Відповідь:

12, 16, 20 см і 9, 12, 15 см.

Завдання 12.14

Рівні трикутники в паралелограмі

У паралелограмі ABCD діагоналі перетинаються в O. Знайдіть усі пари рівних трикутників.

Розв’язання

△AOB = △COD, △BOC = △DOA (за двома сторонами й вертикальним кутом).
△ABC = △CDA, △ABD = △CDB (за трьома сторонами).

Відповідь:

4 пари (див. кроки).

Завдання 12.15

Бісектриси при бічній стороні й середня лінія

Доведіть, що точка перетину бісектрис кутів трапеції, прилеглих до бічної сторони, лежить на середній лінії.

Розв’язання

∠AOB = 90° (∠A/2 + ∠B/2 = 90°). M — середина AB, тож OM = MA (медіана до гіпотенузи).
△AMO рівнобедрений: ∠MOA = ∠MAO = ∠OAD (бо AO — бісектриса).
∠MOA = ∠OAD — різносторонні, тож MO ∥ AD. Пряма через середину AB, паралельна основам, — це середня лінія.

Відповідь:

Доведено.

Завдання 12.16

Рівні кути при KL ∥ BC

На мал. 12.1 пряма KL паралельна стороні BC різностороннього △ABC. Знайдіть усі рівні кути.

Розв’язання

∠AKL = ∠ABC і ∠ALK = ∠ACB (відповідні), кут A спільний.
Також рівні суміжні з ними: ∠BKL = 180° − ∠B, ∠CLK = 180° − ∠C.

Відповідь:

∠AKL = ∠B, ∠ALK = ∠C.

Завдання 12.17

Скільки робітників для балки

Соснова балка 4,5 м × 20 см × 55 см, щільність 520 кг/м³, один робітник піднімає 70 кг. Скільки робітників треба?

Розв’язання

V = 4,5 · 0,2 · 0,55 = 0,495 м³.
m = 0,495 · 520 ≈ 257,4 кг.
257,4 : 70 ≈ 3,7 — потрібно 4 робітники.

Відповідь:

4 робітники.

Завдання 12.18

Чи можуть відрізки ділити один одного навпіл

K на AB, L на AC. Чи може точка перетину BL і KC ділити кожен навпіл?

Розв’язання

Якби так, то BKLC мав би діагоналі BL і KC, що діляться навпіл, — тобто був би паралелограмом.
Тоді BK ∥ CL, але прямі AB і AC перетинаються в точці A. Суперечність.

Відповідь:

Ні, не може.