ГДЗ · Геометрія · 8 клас

Сторінка 89

Геометрія, Істер, 2025 · № 13.1–13.7 · 7 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 13. Ознаки подібності трикутників

Завдання 13.1

Коли трикутники подібні (усно)

За яких умов два трикутники подібні: 1) є спільний кут; 2) два кути одного дорівнюють двом кутам іншого; 3) дві сторони одного дорівнюють двом сторонам іншого?

Розв’язання

1) Одного кута замало — не обов’язково подібні.
2) Так — перша ознака.
3) Ні: потрібен ще рівний кут між ними (або третя пропорційна сторона).

Відповідь:

Лише 2).

Завдання 13.2

Чи ABC ∼ DEF

1) ∠A = ∠D; 2) ∠A = 50°, ∠B = 60°, ∠D = 50°, ∠E = 60°; 3) AB = 3DE, BC = 3EF; 4) ∠A = 40°, ∠B = 70°, ∠D = 40°, ∠E = 90°.

Розв’язання

1) Замало умов.
2) Два кути рівні — подібні.
3) Невідомо про кут між сторонами — замало.
4) Кути 40°, 70°, 70° і 40°, 90°, 50° — не подібні.

Відповідь:

Лише 2).

Завдання 13.3

Чи ABC ∼ MNK

1) $A B = M N = 15$ , $B C = N K = 12$ ; 2) $∠ A = ∠ M$ , $\frac{A B}{M N} = \frac{A C}{M K}$ ; 3) $∠ A = 10 0^{\circ}$ , $∠ B = 3 0^{\circ}$ , $∠ M = 7 0^{\circ}$ , $∠ N = 2 0^{\circ}$ ; 4) $∠ C = ∠ K$ , $C B = 5$ , $C A = 2$ , $K N = 10$ , $K M = 4$ .

Розв’язання

1) Кут між сторонами невідомий — замало.
2) Так — друга ознака.
3) Кути 100°, 30°, 50° і 70°, 20°, 90° — ні.
4) $\frac{C B}{K N} = \frac{C A}{K M} = \frac{1}{2}$ , кути між ними рівні — так.

Відповідь:

2) і 4).

Завдання 13.4

Довести подібність ABC і A₁B₁C₁

1) AB = 2, BC = 3, AC = 4, A₁B₁ = 4, B₁C₁ = 6, A₁C₁ = 8; 2) ∠A = ∠A₁ = 20°, AB = 3, AC = 5, A₁B₁ = 9, A₁C₁ = 15; 3) ∠A = 30°, ∠B = 40°, ∠B₁ = 40°, ∠C₁ = 110°.

Розв’язання

1) Усі відношення $\frac{1}{2}$ — за трьома сторонами.
2) $\frac{3}{9} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$ і рівні кути між ними — за двома сторонами й кутом.
3) ∠C = 110°, тож ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁ — за двома кутами.

Відповідь:

Доведено.

Завдання 13.5

Довести подібність MNK і M₁N₁K₁

1) ∠M = ∠M₁, MN = 5, MK = 6, M₁N₁ = 10, M₁K₁ = 12; 2) ∠M = 90°, ∠N = 50°, ∠K₁ = 40°, ∠N₁ = 50°; 3) MN = 3, NK = 4, MK = 5, M₁N₁ = 6, N₁K₁ = 8, M₁K₁ = 10.

Розв’язання

1) $\frac{5}{10} = \frac{6}{12}$ і $∠ M = ∠ M_{1}$ .
2) ∠K = 40° = ∠K₁, ∠N = ∠N₁ — за двома кутами.
3) Усі відношення $\frac{1}{2}$ .

Відповідь:

Доведено.

Завдання 13.6

Прямі, що перетинаються, і AC ∥ BD

Прямі AB і CD перетинаються в O, AC ∥ BD. Доведіть, що △AOC ∼ △BOD.

Розв’язання

∠AOC = ∠BOD (вертикальні).
∠CAO = ∠DBO (різносторонні при AC ∥ BD і січній AB).
За двома кутами △AOC ∼ △BOD.

Відповідь:

Доведено.

Завдання 13.7

Рівні кути при перетині прямих

Прямі MN і KL перетинаються в O, ∠MLO = ∠NKO. Доведіть, що △MOL ∼ △NOK.

Розв’язання

∠MOL = ∠NOK (вертикальні), ∠MLO = ∠NKO (за умовою).
За двома кутами трикутники подібні.

Відповідь:

Доведено.