ГДЗ · Геометрія · 8 клас

Сторінка 92

Геометрія, Істер, 2025 · № 13.27–13.35 · 9 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 13. Ознаки подібності трикутників

Завдання 13.27

Рівні кути при перетині відрізків

Відрізки AB і CD перетинаються в O, $\frac{A O}{O B} = \frac{D O}{O C}$ . Доведіть, що ∠BCO = ∠ADO.

Розв’язання

$\frac{O B}{O A} = \frac{O C}{O D}$ , кути BOC і AOD вертикальні — △BOC ∼ △AOD (B ↔ A, C ↔ D).
∠BCO = ∠ADO як відповідні.

Відповідь:

Доведено.

Завдання 13.28

Основи за діагоналями і середньою лінією

O — точка перетину діагоналей трапеції ABCD (AD ∥ BC), BO = 4 см, DO = 7 см, середня лінія 22 см. Знайдіть основи.

Розв’язання

BC + AD = 44, BC : AD = 4 : 7.
11t = 44, t = 4: BC = 16 см, AD = 28 см.

Відповідь:

16 см і 28 см.

Завдання 13.29

BO і OD за різницею

AD = 11 см, BC = 5 см (AD ∥ BC), OD − BO = 3 см. Знайдіть BO і OD.

Розв’язання

BO = 5t, OD = 11t, 6t = 3, t = 0,5.
BO = 2,5 см, OD = 5,5 см.

Відповідь:

BO = 2,5 см, OD = 5,5 см.

Завдання 13.30

Трикутники ABC і KPC

AB = 9, BC = 12, AC = 18 см; CK = 6 см на AC, CP = 4 см на BC. 1) Чи подібні △ABC і △KPC? 2) Чи AB ∥ KP? 3) Знайдіть PK.

Розв’язання

$\frac{C K}{C A} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$ , $\frac{C P}{C B} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ , кут C спільний — △KPC ∼ △ABC (K ↔ A, P ↔ B).
2) ∠CKP = ∠CAB — відповідні кути рівні, тож KP ∥ AB.
3) PK = AB : 3 = 3 см.

Відповідь:

1) так; 2) так; 3) 3 см.

Завдання 13.31

Знайти AC

MN ∥ AB, M ∈ AC, N ∈ BC, AB = 10 см, MN = 4 см, MA = 2 см. Знайдіть AC.

Розв’язання

$\frac{C M}{C A} = 0, 4$ , тож $M A = 0, 6 C A = 2$ .
$C A = \frac{10}{3} = 3 \frac{1}{3}$ см.

Відповідь:

3⅓ см.

Завдання 13.32

Знайти AB

KL ∥ BC, K ∈ AB, L ∈ AC, KB = 6 см, BC = 12 см, KL = 9 см. Знайдіть AB.

Розв’язання

$K B = \frac{1}{4} A B = 6$ , $A B = 24$ см.

Відповідь:

24 см.

Завдання 13.33

Відстань через річку

BN ∥ CD, C на відрізку AB, D на AN, BN = 30 м, CD = 20 м, BC = 5 м. Знайдіть AB.

Розв’язання

△ACD ∼ △ABN, тож $A C = \frac{2}{3} A B$ і $B C = \frac{1}{3} A B = 5$ .
AB = 15 м.

Відповідь:

15 м.

Завдання 13.34

Подібні трикутники на мал. 13.16

У △ABC D на AC, AD = 9, DC = 16, BC = 20. Знайдіть подібні трикутники.

Розв’язання

$\frac{C B}{C D} = \frac{20}{16} = \frac{5}{4}$ , $\frac{C A}{C B} = \frac{25}{20} = \frac{5}{4}$ , кут C спільний.
△ABC ∼ △BDC (A ↔ B, B ↔ D).

Відповідь:

△ABC ∼ △BDC.

Завдання 13.35

Подібні трикутники на мал. 13.17

У △ABD C на BD, AB = 2, BC = 1, CD = 3. Знайдіть подібні трикутники.

Розв’язання

$\frac{B C}{B A} = \frac{1}{2}$ , $\frac{B A}{B D} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ , кут B спільний.
△CBA ∼ △ABD (C ↔ A, A ↔ D).

Відповідь:

△ABC ∼ △DBA.