ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 177

Алгебра, Істер О. С., Істер Д. О., 2026 · № 18.28–18.39 · 12 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 18. Геометрична прогресія, її властивості. Формула n-го члена геометричної прогресії

Завдання 18.28

Вставити між 1 і 64

1) одне число; 2) два числа.

Розв’язання

1) 8 або −8: 1; ±8; 64.
2) q = 4: 1; 4; 16; 64.

Відповідь:

±8 | 4; 16.

Завдання 18.29

Прогресія 1/2; x₂; x₃; 4; x₅

Знайдіть x₂, x₃, x₅.

Розв’язання

q = 2: x₂ = 1, x₃ = 2, x₅ = 8.

Відповідь:

1; 2; 8.

Завдання 18.30

x + 3, 2x, 5x − 4 — геометрична

Знайдіть x і числа.

Розв’язання

$x^{2} + 11 x - 12 = 0$ : x = 1 або −12.
x = 1: 4; 2; 1. x = −12: −9; −24; −64.

Відповідь:

4; 2; 1 або −9; −24; −64.

Завдання 18.31

y, 2y + 3, 4y + 3 — геометрична

Знайдіть y і числа.

Розв’язання

$(2 y + 3)^{2} = y (4 y + 3)$ , $9 y = - 9$ , y = −1: −1; 1; −1.

Відповідь:

y = −1: −1; 1; −1.

Завдання 18.32

Тотожність для геометричної прогресії

a, b, c — послідовні члени. Доведіть $(a + b + c) (a - b + c) = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ .

Розв’язання

$(a + c)^{2} - b^{2} = a^{2} + 2 a c + c^{2} - b^{2} = a^{2} + 2 b^{2} + c^{2} - b^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ .

Відповідь:

Доведено.

Завдання 18.33

x, y, z — геометрична прогресія

$(x^{2} + y^{2}) (y^{2} + z^{2}) = (x y + y z)^{2}$ , x, y, z ≠ 0. Доведіть.

Розв’язання

Після розкриття: $x^{2} z^{2} - 2 x y^{2} z + y^{4} = 0$ , тобто $(x z - y^{2})^{2} = 0$ .
$y^{2} = x z$ — характеристична властивість геометричної прогресії.

Відповідь:

Доведено.

Завдання 18.34

Вкладені квадрати

Сторона першого квадрата 16 см; вершини кожного наступного — середини сторін попереднього. Площа шостого?

Розв’язання

256; 128; 64; 32; 16; 8.

Відповідь:

8 см².

Завдання 18.35

Обчислити (степені)

1) $2^{7}$ ; 2) $4^{6}$ ; 3) $3^{5} - 1$ ; 4) $(3 - 1)^{5}$ .

Розв’язання

128; 4096; 242; 32.

Відповідь:

128; 4096; 242; 32.

Завдання 18.36

Арифметична прогресія (повторення)

1) a₂ + a₄ = 14, a₆ + a₉ = 32; 2) a₂ + a₆ = 4, a₄a₃ = 6.

Розв’язання

1) 2a₁ + 4d = 14, 2a₁ + 13d = 32: d = 2, a₁ = 3.
2) a₄ = 2, a₃ = 3: d = −1, a₁ = 5.

Відповідь:

a₁ = 3, d = 2 | a₁ = 5, d = −1.

Завдання 18.37

Вираз не залежить від змінної

$\frac{a + 3}{2 a + 2} - \frac{a + 1}{2 a - 2} + \frac{2}{a ^{2} - 1}$ .

Розв’язання

$\frac{( a + 3 ) ( a - 1 ) - ( a + 1 ) ^{2} + 4}{2 ( a ^{2} - 1 )} = \frac{0}{2 ( a ^{2} - 1 )} = 0$ при $a \neq = \pm 1$ .

Відповідь:

Значення завжди 0.

Завдання 18.38

Вираз від коренів

$5 x^{2} + 7 x - 9 = 0$ . Знайдіть $x_{1}^{3} x_{2} + x_{2}^{3} x_{1}$ .

Розв’язання

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \frac{49}{25} + \frac{18}{5} = \frac{139}{25}$ .
$- \frac{9}{5} \cdot \frac{139}{25} = - 10, 008$ .

Відповідь:

−10,008.

Завдання 18.39

Графік зі скороченням

$y = \frac{x ^{4} - 4}{x ^{2} - 2}$ .

Розв’язання

Парабола з вершиною (0; 2) з виколотими точками $(\pm 2; 4)$ .

Відповідь:

Див. кроки.