ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 38

Алгебра, Істер О. С., Істер Д. О., 2026 · № 4.16–4.26 · 11 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 4. Нерівності зі змінними

Завдання 4.16

Спрощення виразів з коренями

Спростіть: 1) $(3 + 5)^{2} - 65$ ; 2) $(7 - 2)^{2} - 9$ .

Розв’язання

1) $9 + 65 + 5 - 65 = 14$ .
2) $7 - 214 + 2 - 9 = - 214$ .

Відповідь:

1) $14$ ; 2) $- 214$ .

Завдання 4.17

Доведення тотожності

Доведіть тотожність $\frac{x ^{2} + x}{( x - 1 ) ^{2}} : (\frac{x}{x - 1} - \frac{x}{x + 1} + \frac{x ^{2} + 1}{x ^{2} - 1}) = \frac{x}{x - 1}$ .

Розв’язання

Дужка: $\frac{x ( x + 1 ) - x ( x - 1 ) + x ^{2} + 1}{x ^{2} - 1} = \frac{x ^{2} + 2 x + 1}{x ^{2} - 1} = \frac{( x + 1 ) ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{x + 1}{x - 1}$ .
Ділення: $\frac{x ( x + 1 )}{( x - 1 ) ^{2}} \cdot \frac{x - 1}{x + 1} = \frac{x}{x - 1}$ — що й треба було довести.

Відповідь:

Тотожність доведено.

Завдання 4.18

Графік рівняння з модулем

Побудуйте графік рівняння $∣ x - y ∣ = 3$ .

Розв’язання

$x - y = 3 \Rightarrow y = x - 3$ ; $x - y = - 3 \Rightarrow y = x + 3$ .
Графік — дві паралельні прямі: через $(0; - 3)$ і $(3; 0)$ та через $(0; 3)$ і $(- 3; 0)$ .

Відповідь:

Дві паралельні прямі $y = x - 3$ і $y = x + 3$ .

Завдання 4.19

Життєва математика: діагональ телевізора

Діагональ екрана — 48 дюймів, 1 дюйм = 2,54 см. Запишіть довжину діагоналі в сантиметрах, округливши до цілого.

Розв’язання

$48 \cdot 2, 54 = 121, 92 \approx 122$ см.

Відповідь:

≈ 122 см.

Завдання 4.20

Числа на координатній прямій

Де на координатній прямій містяться числа, якщо вони: 1) більші за 5; 2) менші від 3; 3) більші за 5, але менші від 9?

Розв’язання

1) Правіше від точки 5.
2) Лівіше від точки 3.
3) Між точками 5 і 9.

Відповідь:

1) Правіше від 5; 2) лівіше від 3; 3) між 5 і 9.

Завдання 4.21

Значення, що задовольняють нерівність

Укажіть кілька значень змінної, що задовольняють нерівність: 1) $x < - 2$ ; 2) $x > 3$ ; 3) $- 2 ⩽ x ⩽ 3$ ; 4) $- 2 < x < 3$ .

Розв’язання

1) $- 3, - 5, - 10$ ; 2) $4, 5, 10$ .
3) $- 2, 0, 3$ (межі включено); 4) $- 1, 0, 2$ (межі не включено).

Відповідь:

Наприклад: 1) −3, −5; 2) 4, 10; 3) −2, 0, 3; 4) −1, 0, 2.

Завдання 4.22

Між якими цілими числами корінь

Між якими цілими числами міститься: 1) $2$ ; 2) $5$ ; 3) $13$ ; 4) $- 3$ ?

Розв’язання

1) $1 < 2 < 4 \Rightarrow 1 < 2 < 2$ .
2) $4 < 5 < 9 \Rightarrow 2 < 5 < 3$ .
3) $9 < 13 < 16 \Rightarrow 3 < 13 < 4$ .
4) $1 < 3 < 2 \Rightarrow - 2 < - 3 < - 1$ .

Відповідь:

1) 1 і 2; 2) 2 і 3; 3) 3 і 4; 4) −2 і −1.

Завдання 4.23

Елементи множини

Укажіть елементи множини: 1) $A = {4; 7; 10}$ ; 2) $B = {△; □;!}$ .

Розв’язання

1) Елементи множини A: 4, 7, 10.
2) Елементи множини B: трикутник, квадрат і знак оклику.

Відповідь:

1) $4 \in A$ , $7 \in A$ , $10 \in A$ ; 2) $△$ , $□$ , «!».

Завдання 4.24

Скінченні й нескінченні множини

1) Наведіть приклади скінченних і нескінченних множин. 2) Як називають множину дійсних розв’язків рівняння $∣ x ∣ = - 4$ ?

Розв’язання

1) Скінченні: множина днів тижня, літер українського алфавіту, учнів класу. Нескінченні: множина натуральних чисел, точок прямої, парних чисел.
2) $∣ x ∣ ⩾ 0$ для всіх $x$ , тому рівняння $∣ x ∣ = - 4$ коренів не має; множина його розв’язків — порожня ( $\emptyset$ ).

Відповідь:

Порожня множина ∅.

Завдання 4.25

Спільні елементи множин

Назвіть спільні елементи множин $A = {1; 3; 5; 7}$ і $B = {2; 3; 4; 5}$ .

Розв’язання

У $A$ і в $B$ одночасно є лише 3 і 5.

Відповідь:

3 і 5.

Завдання 4.26

Цікава задача: швидкість пішохода

Першу половину шляху пішохід рухався зі швидкістю, на 25 % більшою від запланованої. На скільки відсотків меншою від запланованої може бути швидкість на другій половині, щоб прибути вчасно?

Розв’язання

Запланований час: $\frac{2 S}{v}$ . На першу половину: $\frac{S}{1 , 25 v} = \frac{0 , 8 S}{v}$ .
На другу половину лишається $\frac{2 S}{v} - \frac{0 , 8 S}{v} = \frac{1 , 2 S}{v}$ .
Потрібна швидкість: $S : \frac{1 , 2 S}{v} = \frac{v}{1 , 2} = \frac{5}{6} v$ .
Це на $\frac{1}{6} = 16 \frac{2}{3} %$ менше від запланованої.

Відповідь:

На $16 \frac{2}{3} %$ .