Показати, що нерівність виконується за будь-якого значення змінної: 1) 5a+12>5(a+2); 2) (p−3)(p+4)<p(p+1); 3) (x+1)2>x(x+2); 4) y(y+8)<(y+4)2; 5) (2a−5)2⩽6a2−20a+25; 6) a2+4⩾4a.
Розв’язання
1) 5a+12−5(a+2)=5a+12−5a−10=2>0, отже, 5a+12>5(a+2).
2) (p−3)(p+4)−p(p+1)=p2+p−12−p2−p=−12<0, отже, (p−3)(p+4)<p(p+1).
3) (x+1)2−x(x+2)=x2+2x+1−x2−2x=1>0, отже, (x+1)2>x(x+2).
4) y(y+8)−(y+4)2=y2+8y−y2−8y−16=−16<0, отже, y(y+8)<(y+4)2.
5) (2a−5)2−(6a2−20a+25)=4a2−20a+25−6a2+20a−25=−2a2⩽0, отже, (2a−5)2⩽6a2−20a+25.
Показати, що нерівність виконується за будь-якого значення змінної: 1) 5a+12>5(a+2); 2) (p−3)(p+4)<p(p+1); 3) (x+1)2>x(x+2); 4) y(y+8)<(y+4)2; 5) (2a−5)2⩽6a2−20a+25; 6) a2+4⩾4a.
Що треба знати
Порівнюючи a і b, дивляться на знак різниці a−b: якщо вона додатна, то a>b, якщо від’ємна — a<b, якщо дорівнює нулю — a=b. На координатній прямій більше число лежить правіше. Щоб довести нерівність, знаходять знак різниці її лівої і правої частин; часто допомагає те, що t2⩾0 для будь-якого t.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Знайди різницю частин нерівності й визнач її знак.
Розв’язання крок за кроком
1) 5a+12−5(a+2)=5a+12−5a−10=2>0, отже, 5a+12>5(a+2).
2) (p−3)(p+4)−p(p+1)=p2+p−12−p2−p=−12<0, отже, (p−3)(p+4)<p(p+1).
3) (x+1)2−x(x+2)=x2+2x+1−x2−2x=1>0, отже, (x+1)2>x(x+2).
4) y(y+8)−(y+4)2=y2+8y−y2−8y−16=−16<0, отже, y(y+8)<(y+4)2.
5) (2a−5)2−(6a2−20a+25)=4a2−20a+25−6a2+20a−25=−2a2⩽0, отже, (2a−5)2⩽6a2−20a+25.
