Показати, що нерівність виконується за будь-якого значення змінної: 1) 6x−5<3(2x−1); 2) (a+3)(a+1)>a(a+4); 3) (c−4)(c+4)>c2−20; 4) 3(b−4)+2b<5b−10; 5) x(x+6)−x2<2(3x+1); 6) (y+5)(y−2)⩾3y−10; 7) a(a−2)⩾−1; 8) (b+7)2>14b+40.
Розв’язання
1) 6x−5−3(2x−1)=6x−5−6x+3=−2<0, отже, 6x−5<3(2x−1).
2) (a+3)(a+1)−a(a+4)=a2+4a+3−a2−4a=3>0, отже, (a+3)(a+1)>a(a+4).
3) (c−4)(c+4)−(c2−20)=c2−16−c2+20=4>0, отже, (c−4)(c+4)>c2−20.
4) 3(b−4)+2b−(5b−10)=3b−12+2b−5b+10=−2<0, отже, 3(b−4)+2b<5b−10.
5) x(x+6)−x2−2(3x+1)=x2+6x−x2−6x−2=−2<0, отже, x(x+6)−x2<2(3x+1).
6) (y+5)(y−2)−(3y−10)=y2+3y−10−3y+10=y2⩾0, отже, (y+5)(y−2)⩾3y−10.
7) a(a−2)−(−1)=a2−2a+1=(a−1)2⩾0, отже, a(a−2)⩾−1.
8) (b+7)2−(14b+40)=b2+14b+49−14b−40=b2+9>0, отже, (b+7)2>14b+40.
Відповідь:
Різниці лівої і правої частин: 1) −2; 2) 3; 3) 4; 4) −2; 5) −2; 6) y2⩾0; 7) (a−1)2⩾0; 8) b2+9>0 — їхні знаки відповідають знакам нерівностей, тож усі нерівності доведено.
Показати, що нерівність виконується за будь-якого значення змінної: 1) 6x−5<3(2x−1); 2) (a+3)(a+1)>a(a+4); 3) (c−4)(c+4)>c2−20; 4) 3(b−4)+2b<5b−10; 5) x(x+6)−x2<2(3x+1); 6) (y+5)(y−2)⩾3y−10; 7) a(a−2)⩾−1; 8) (b+7)2>14b+40.
Що треба знати
Порівнюючи a і b, дивляться на знак різниці a−b: якщо вона додатна, то a>b, якщо від’ємна — a<b, якщо дорівнює нулю — a=b. На координатній прямій більше число лежить правіше. Щоб довести нерівність, знаходять знак різниці її лівої і правої частин; часто допомагає те, що t2⩾0 для будь-якого t.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Склади різницю лівої і правої частин і спрости її.
Розв’язання крок за кроком
1) 6x−5−3(2x−1)=6x−5−6x+3=−2<0, отже, 6x−5<3(2x−1).
2) (a+3)(a+1)−a(a+4)=a2+4a+3−a2−4a=3>0, отже, (a+3)(a+1)>a(a+4).
3) (c−4)(c+4)−(c2−20)=c2−16−c2+20=4>0, отже, (c−4)(c+4)>c2−20.
4) 3(b−4)+2b−(5b−10)=3b−12+2b−5b+10=−2<0, отже, 3(b−4)+2b<5b−10.
5) x(x+6)−x2−2(3x+1)=x2+6x−x2−6x−2=−2<0, отже, x(x+6)−x2<2(3x+1).
6) (y+5)(y−2)−(3y−10)=y2+3y−10−3y+10=y2⩾0, отже, (y+5)(y−2)⩾3y−10.
7) a(a−2)−(−1)=a2−2a+1=(a−1)2⩾0, отже, a(a−2)⩾−1.
8) (b+7)2−(14b+40)=b2+14b+49−14b−40=b2+9>0, отже, (b+7)2>14b+40.
Відповідь:
Різниці лівої і правої частин: 1) −2; 2) 3; 3) 4; 4) −2; 5) −2; 6) y2⩾0; 7) (a−1)2⩾0; 8) b2+9>0 — їхні знаки відповідають знакам нерівностей, тож усі нерівності доведено.
