Завдання 1.15, 1. Числові нерівності — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 1.15

Доведення через квадрат

Довести: 1) $9 x^{2} - 6 x y + 4 y^{2} ⩾ 0$ ; 2) $28 a - 32 ⩽ 7 a^{2} - 4$ ; 3) $3 (b - 1) < b (b + 1)$ .

Розв’язання

1) $9 x^{2} - 6 x y + 4 y^{2} = (9 x^{2} - 6 x y + y^{2}) + 3 y^{2} = (3 x - y)^{2} + 3 y^{2} ⩾ 0$ .
2) $28 a - 32 - (7 a^{2} - 4) = - 7 a^{2} + 28 a - 28 = - 7 (a^{2} - 4 a + 4) = - 7 (a - 2)^{2} ⩽ 0$ , отже, $28 a - 32 ⩽ 7 a^{2} - 4$ .
3) $3 (b - 1) - b (b + 1) = 3 b - 3 - b^{2} - b = - (b^{2} - 2 b + 3) = - ((b - 1)^{2} + 2) < 0$ , отже, $3 (b - 1) < b (b + 1)$ .

Відповідь:

1) $(3 x - y)^{2} + 3 y^{2} ⩾ 0$ ; 2) різниця $- 7 (a - 2)^{2} ⩽ 0$ ; 3) різниця $- ((b - 1)^{2} + 2) < 0$ — нерівності доведено.

Розбір зрозумілий?

1. Числові нерівності Завдання 1.15 с. 11

Доведення через квадрат

Умова

Довести: 1) $9 x^{2} - 6 x y + 4 y^{2} ⩾ 0$ ; 2) $28 a - 32 ⩽ 7 a^{2} - 4$ ; 3) $3 (b - 1) < b (b + 1)$ .

Що треба знати

Порівнюючи $a$ і $b$ , дивляться на знак різниці $a - b$ : якщо вона додатна, то $a > b$ , якщо від’ємна — $a < b$ , якщо дорівнює нулю — $a = b$ . На координатній прямій більше число лежить правіше. Щоб довести нерівність, знаходять знак різниці її лівої і правої частин; часто допомагає те, що $t^{2} ⩾ 0$ для будь-якого $t$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Зведи різницю до квадрата двочлена (можливо, з додатним доданком).

Розв’язання крок за кроком

1) $9 x^{2} - 6 x y + 4 y^{2} = (9 x^{2} - 6 x y + y^{2}) + 3 y^{2} = (3 x - y)^{2} + 3 y^{2} ⩾ 0$ .
2) $28 a - 32 - (7 a^{2} - 4) = - 7 a^{2} + 28 a - 28 = - 7 (a^{2} - 4 a + 4) = - 7 (a - 2)^{2} ⩽ 0$ , отже, $28 a - 32 ⩽ 7 a^{2} - 4$ .
3) $3 (b - 1) - b (b + 1) = 3 b - 3 - b^{2} - b = - (b^{2} - 2 b + 3) = - ((b - 1)^{2} + 2) < 0$ , отже, $3 (b - 1) < b (b + 1)$ .

Відповідь:

1) $(3 x - y)^{2} + 3 y^{2} ⩾ 0$ ; 2) різниця $- 7 (a - 2)^{2} ⩽ 0$ ; 3) різниця $- ((b - 1)^{2} + 2) < 0$ — нерівності доведено.

Розбір зрозумілий?