Завдання 1.17, 1. Числові нерівності — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 1.17

Послідовні натуральні числа

Для трьох послідовних натуральних чисел порівняйте: 1) квадрат середнього і добуток крайніх; 2) подвоєний квадрат середнього і суму квадратів крайніх.

Розв’язання

Позначимо числа: $n - 1$ , $n$ , $n + 1$ .
1) $n^{2} - (n - 1) (n + 1) = n^{2} - (n^{2} - 1) = 1 > 0$ , тому $n^{2} > (n - 1) (n + 1)$ .
2) $2 n^{2} - ((n - 1)^{2} + (n + 1)^{2}) = 2 n^{2} - (2 n^{2} + 2) = - 2 < 0$ , тому $2 n^{2} < (n - 1)^{2} + (n + 1)^{2}$ .

Відповідь:

1) Квадрат середнього більший за добуток крайніх (на $1$ ); 2) подвоєний квадрат середнього менший за суму квадратів крайніх (на $2$ ).

Розбір зрозумілий?

1. Числові нерівності Завдання 1.17 с. 11

Послідовні натуральні числа

Умова

Що треба знати

Число $a$ більше за $b$ , якщо різниця $a - b$ додатна, і менше, якщо вона від’ємна. Щоб довести нерівність $A ⩾ B$ , складають різницю $A - B$ і показують, що вона невід’ємна, найчастіше виділяючи повні квадрати, бо $t^{2} ⩾ 0$ при будь-якому $t$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Позначте середнє число через $n$ , а сусідні — через $n - 1$ і $n + 1$ .

Розв’язання крок за кроком

Позначимо числа: $n - 1$ , $n$ , $n + 1$ .
1) $n^{2} - (n - 1) (n + 1) = n^{2} - (n^{2} - 1) = 1 > 0$ , тому $n^{2} > (n - 1) (n + 1)$ .
2) $2 n^{2} - ((n - 1)^{2} + (n + 1)^{2}) = 2 n^{2} - (2 n^{2} + 2) = - 2 < 0$ , тому $2 n^{2} < (n - 1)^{2} + (n + 1)^{2}$ .

Відповідь:

Розбір зрозумілий?