Завдання 1.28, 1. Числові нерівності — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 1.28

Нерівність із коренем

Доведіть, що $\frac{a ^{2} + 2}{a ^{2} + 1} ⩾ 2$ при всіх $a$ .

Розв’язання

Нехай $t = a^{2} + 1$ , тоді $t ⩾ 1 > 0$ і $a^{2} + 2 = t^{2} + 1$ .
$\frac{a ^{2} + 2}{a ^{2} + 1} - 2 = \frac{t ^{2} + 1}{t} - 2 = \frac{t ^{2} - 2 t + 1}{t} = \frac{( t - 1 ) ^{2}}{t} ⩾ 0$ , бо $(t - 1)^{2} ⩾ 0$ і $t > 0$ .
Отже, $\frac{a ^{2} + 2}{a ^{2} + 1} ⩾ 2$ (рівність при $a = 0$ ).

Відповідь:

Доведено: різниця дорівнює $\frac{( a ^{2} + 1 - 1 ) ^{2}}{a ^{2} + 1} ⩾ 0$ .

Розбір зрозумілий?