Натуральні числа від 1 до 1000 розділили на парні й непарні. У якій групі сума всіх цифр більша і на скільки?
Що треба знати
Число a більше за b, якщо різниця a−b додатна, і менше, якщо вона від’ємна. Щоб довести нерівність A⩾B, складають різницю A−B і показують, що вона невід’ємна, найчастіше виділяючи повні квадрати, бо t2⩾0 при будь-якому t.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Порівнюйте окремо цифри одиниць і цифри десятків та сотень.
Розв’язання крок за кроком
Додамо до парних число 0 (сума цифр не зміниться) і запишемо числа від 0 до 999 трьома цифрами (7=007). Парних і непарних серед них по 500.
Для кожної з 100 пар «сотні, десятки» є рівно 5 парних і 5 непарних чисел, тому суми цифр сотень і десятків в обох групах однакові.
Цифри одиниць: у парних 0,2,4,6,8 по 100 разів, сума 100⋅20=2000; у непарних 1,3,5,7,9 по 100 разів, сума 100⋅25=2500.
Залишилося число 1000 — парне, сума його цифр 1. Різниця: 2500−2000−1=499 (усього: непарні — 7000, парні — 6501).
