ГДЗ · Алгебра · 8 клас

Сторінка 202

Алгебра, Істер, 2025 · № 25.1–25.7 · 7 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 25. Розв’язування рівнянь, які зводяться до квадратних

Завдання 25.1

Які рівняння біквадратні (усно)

1) $x^{3} + 3 x^{2} - 5 = 0$ ; 2) $x^{4} + 4 x^{2} - 5 = 0$ ; 3) $x^{2} + 7 x - 1 = 0$ ; 4) $- 5 x^{4} - 8 x^{2} - 11 = 0$ ; 5) $\frac{1}{x ^{4}} + \frac{4}{x ^{2}} - 9 = 0$ ; 6) $10 x^{2} - 9 x^{4} - 5 = 0$ .

Розв’язання

Біквадратні: 2), 4), 6).
1) є x³; 3) — квадратне; 5) — змінна в знаменнику.

Відповідь:

2), 4), 6).

Завдання 25.2

Виписати біквадратні

1) $x^{2} + x - 11 = 0$ ; 2) $5 x^{4} - 4 x^{3} - 5 = 0$ ; 3) $x^{4} - 7 x^{2} - 6 = 0$ ; 4) $x^{5} - 9 x^{2} + 4 = 0$ ; 5) $7 x^{4} + 12 x^{2} - 9 = 0$ ; 6) $5 - 7 x^{4} - 6 x^{2} = 0$ .

Розв’язання

3), 5), 6).

Відповідь:

3), 5), 6).

Завдання 25.3

Біквадратні рівняння (1)

1) $x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$ ; 2) $x^{4} - 9 x^{2} + 8 = 0$ ; 3) $x^{4} - 2 x^{2} - 8 = 0$ ; 4) $2 x^{4} - x^{2} - 6 = 0$ ; 5) $x^{4} + 5 x^{2} + 4 = 0$ ; 6) $9 x^{4} - 6 x^{2} + 1 = 0$ .

Розв’язання

1) $t^{2} - 5 t + 4 = 0$ : t = 1; 4 → ±1; ±2.
2) t = 1; 8 → ±1; $\pm 22$ .
3) t = 4; −2 (відпадає) → ±2.
4) $2 t^{2} - t - 6 = 0$ , $D = 49$ : t = 2; −1,5 → $\pm 2$ .
5) t = −1; −4 — обидва від’ємні: коренів немає.
6) $(3 t - 1)^{2} = 0$ , $t = \frac{1}{3}$ → $\pm \frac{3}{3}$ .

Відповідь:

±1; ±2 | ±1; $\pm 22$ | ±2 | $\pm 2$ | немає | $\pm \frac{3}{3}$ .

Завдання 25.4

Біквадратні рівняння (2)

1) $x^{4} - 17 x^{2} + 16 = 0$ ; 2) $x^{4} - 6 x^{2} + 8 = 0$ ; 3) $x^{4} + 2 x^{2} - 15 = 0$ ; 4) $3 x^{4} - 2 x^{2} - 8 = 0$ ; 5) $x^{4} + 10 x^{2} + 9 = 0$ ; 6) $25 x^{4} - 10 x^{2} + 1 = 0$ .

Розв’язання

1) t = 1; 16 → ±1; ±4.
2) t = 2; 4 → $\pm 2$ ; ±2.
3) t = 3; −5 → $\pm 3$ .
4) $D = 100$ : t = 2; $- \frac{4}{3}$ → $\pm 2$ .
5) t = −1; −9 — коренів немає.
6) $(5 t - 1)^{2} = 0$ , $t = \frac{1}{5}$ → $\pm \frac{5}{5}$ .

Відповідь:

±1; ±4 | $\pm 2$ ; ±2 | $\pm 3$ | $\pm 2$ | немає | $\pm \frac{5}{5}$ .

Завдання 25.5

Дріб дорівнює нулю (1)

1) $\frac{x ^{2} - x - 2}{x + 3} = 0$ ; 2) $\frac{x ^{2} + x - 6}{x - 2} = 0$ .

Розв’язання

1) Корені чисельника 2 і −1; знаменник не нуль — обидва.
2) Корені 2 і −3; x = 2 обертає знаменник на нуль.

Відповідь:

1) −1; 2; 2) −3.

Завдання 25.6

Дріб дорівнює нулю (2)

1) $\frac{x ^{2} + 2 x - 3}{x - 4} = 0$ ; 2) $\frac{x ^{2} - x - 12}{x + 3} = 0$ .

Розв’язання

1) 1 і −3 — обидва підходять.
2) 4 і −3; −3 відпадає.

Відповідь:

1) −3; 1; 2) 4.

Завдання 25.7

Дроби з однаковими знаменниками (1)

1) $\frac{x ^{2}}{x + 1} = \frac{x}{x + 1}$ ; 2) $\frac{x ^{2}}{x - 2} = \frac{4}{x - 2}$ ; 3) $\frac{2 x ^{2}}{x - 1} = \frac{3 x - 14}{1 - x}$ ; 4) $\frac{x ^{2} - 5}{x - 3} = \frac{2 x - 10}{3 - x}$ .

Розв’язання

1) $x^{2} = x$ , $x \neq = - 1$ : 0; 1.
2) $x^{2} = 4$ , $x \neq = 2$ : −2.
3) $2 x^{2} = - (3 x - 14)$ , $2 x^{2} + 3 x - 14 = 0$ , $D = 121$ : 2; −3,5 ( $x \neq = 1$ ).
4) $x^{2} - 5 = - (2 x - 10)$ , $x^{2} + 2 x - 15 = 0$ : 3 (відпадає); −5.

Відповідь:

0; 1 | −2 | 2; −3,5 | −5.