ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 19

Алгебра, Істер О. С., Істер Д. О., 2026 · № 1.9–1.17 · 9 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 1. Числові нерівності

Завдання 1.9

Упорядкуй числа й прочитай прізвище

1) Запишіть у порядку зростання: $\frac{4}{5}$ (Й); $- \frac{3}{7}$ (О); $\frac{3}{8}$ (Н); $0$ (О); $- 0, 1$ (Р); $- 1, 2$ (В); $0, 7$ (И). 2) Прочитайте прізвище українського математика, професора Варшавського університету. 3) Дізнайтеся про його здобутки.

Розв’язання

Переводимо: $\frac{4}{5} = 0, 8$ ; $- \frac{3}{7} \approx - 0, 43$ ; $\frac{3}{8} = 0, 375$ .
Від’ємні за зростанням: $- 1, 2 < - 0, 43 < - 0, 1$ , далі $0$ , потім додатні: $0, 375 < 0, 7 < 0, 8$ .
Порядок: $- 1, 2$ (В), $- \frac{3}{7}$ (О), $- 0, 1$ (Р), $0$ (О), $\frac{3}{8}$ (Н), $0, 7$ (И), $\frac{4}{5}$ (Й) — виходить ВОРОНИЙ.
Георгій Вороний (1868–1908) народився в селі Журавка (нині Чернігівщина), працював у Варшавському університеті. Його ідеї з теорії чисел і геометрії («діаграми Вороного») сьогодні використовують у комп’ютерній графіці, картографії, біології.

Відповідь:

$- 1, 2; - \frac{3}{7}; - 0, 1; 0; \frac{3}{8}; 0, 7; \frac{4}{5}$ — прізвище Вороний.

Завдання 1.10

Упорядкуй числа й прочитай прізвище

1) Запишіть у порядку спадання: $- 1, 2$ (Р); $\frac{3}{4}$ (І); $0$ (О); $- 0, 99$ (У); $0, 8$ (Б); $- 0, 6$ (К); $0, 51$ (Л). 2) Прочитайте прізвище української художниці, творами якої захоплювався Пабло Пікассо.

Розв’язання

Додатні за спаданням: $0, 8 > 0, 75 > 0, 51$ .
Далі $0$ , потім від’ємні: $- 0, 6 > - 0, 99 > - 1, 2$ .
Порядок: $0, 8$ (Б), $\frac{3}{4}$ (І), $0, 51$ (Л), $0$ (О), $- 0, 6$ (К), $- 0, 99$ (У), $- 1, 2$ (Р) — БІЛОКУР.
Катерина Білокур (1900–1961) — українська народна художниця з Богданівки на Київщині, майстриня квіткових композицій; серед відомих робіт — «Цар-Колос», «Колгоспне поле». Назву картини на ілюстрації знайди в інтернеті за пошуком її творів.

Відповідь:

$0, 8; \frac{3}{4}; 0, 51; 0; - 0, 6; - 0, 99; - 1, 2$ — прізвище Білокур.

Завдання 1.11

Нерівності, правильні для будь-якого x

Укажіть нерівності, правильні за будь-якого $x$ : 1) $x^{2} > 0$ ; 2) $x^{2} ⩾ 0$ ; 3) $x + 1 > 0$ ; 4) $x^{2} + 1 > 0$ ; 5) $(x - 3)^{2} ⩾ 0$ ; 6) $(x + 4)^{2} > 0$ ; 7) $x > - x$ ; 8) $- x ⩽ x$ .

Розв’язання

1) При $x = 0$ : $0 > 0$ — хибно. Не підходить.
2) Квадрат завжди $⩾ 0$ — правильна.
3) При $x = - 2$ : $- 1 > 0$ — хибно.
4) $x^{2} ⩾ 0$ , тому $x^{2} + 1 ⩾ 1 > 0$ — правильна.
5) Квадрат виразу невід’ємний — правильна.
6) При $x = - 4$ : $0 > 0$ — хибно.
7) При $x = 0$ : $0 > 0$ — хибно; 8) при $x = - 1$ : $1 ⩽ - 1$ — хибно.

Відповідь:

Нерівності 2, 4, 5.

Завдання 1.12

Доведення нерівностей через різницю

Доведіть нерівність: 1) $3 m + 5 > 3 (m - 1)$ ; 2) $p (p - 2) < p^{2} - 2 p + 7$ ; 3) $(a + 1) (a - 1) < a^{2}$ ; 4) $x (x + 2) > 2 x - 1$ .

Розв’язання

1) $3 m + 5 - 3 (m - 1) = 3 m + 5 - 3 m + 3 = 8 > 0$ — доведено.
2) $p (p - 2) - (p^{2} - 2 p + 7) = p^{2} - 2 p - p^{2} + 2 p - 7 = - 7 < 0$ — доведено.
3) $(a + 1) (a - 1) - a^{2} = a^{2} - 1 - a^{2} = - 1 < 0$ — доведено.
4) $x (x + 2) - (2 x - 1) = x^{2} + 2 x - 2 x + 1 = x^{2} + 1 > 0$ , бо $x^{2} ⩾ 0$ — доведено.

Відповідь:

У кожному випадку різниця має потрібний знак (8; −7; −1; $x^{2} + 1$ ), тому нерівності правильні для всіх значень змінних.

Завдання 1.13

Доведення нерівностей через різницю

Доведіть нерівність: 1) $2 a - 3 < 2 (a - 1)$ ; 2) $c (c + 2) > c^{2} + 2 c - 3$ ; 3) $(x + 2) (x - 2) + 5 > x^{2}$ ; 4) $3 m - 2 < m (m + 3)$ .

Розв’язання

1) $2 a - 3 - 2 (a - 1) = 2 a - 3 - 2 a + 2 = - 1 < 0$ — доведено.
2) $c (c + 2) - (c^{2} + 2 c - 3) = c^{2} + 2 c - c^{2} - 2 c + 3 = 3 > 0$ — доведено.
3) $(x + 2) (x - 2) + 5 - x^{2} = x^{2} - 4 + 5 - x^{2} = 1 > 0$ — доведено.
4) $3 m - 2 - m (m + 3) = 3 m - 2 - m^{2} - 3 m = - m^{2} - 2 < 0$ , бо $- m^{2} ⩽ 0$ — доведено.

Відповідь:

Різниці дорівнюють −1; 3; 1; $- m^{2} - 2$ — знаки відповідають нерівностям, тому вони правильні.

Завдання 1.14

Доведення нерівностей: виділяємо квадрат

Доведіть нерівність: 1) $x^{2} + y^{2} ⩾ - 2 x y$ ; 2) $p (p - 6) ⩾ - 9$ ; 3) $a (a + b) ⩾ ab$ ; 4) $m^{2} + 5 m + 4 ⩾ m$ .

Розв’язання

1) $x^{2} + y^{2} + 2 x y = (x + y)^{2} ⩾ 0$ — доведено.
2) $p^{2} - 6 p + 9 = (p - 3)^{2} ⩾ 0$ — доведено.
3) $a^{2} + ab - ab = a^{2} ⩾ 0$ — доведено.
4) $m^{2} + 5 m + 4 - m = m^{2} + 4 m + 4 = (m + 2)^{2} ⩾ 0$ — доведено.

Відповідь:

Різниці дорівнюють $(x + y)^{2}$ , $(p - 3)^{2}$ , $a^{2}$ , $(m + 2)^{2}$ — усі невід’ємні.

Завдання 1.15

Доведення нерівностей: виділяємо квадрат

Доведіть нерівність: 1) $m^{2} + n^{2} ⩾ 2 mn$ ; 2) $t (t + 2) ⩾ - 1$ ; 3) $c (c - d) ⩾ - c d$ ; 4) $p^{2} - 11 p + 36 ⩾ p$ .

Розв’язання

1) $m^{2} + n^{2} - 2 mn = (m - n)^{2} ⩾ 0$ — доведено.
2) $t^{2} + 2 t + 1 = (t + 1)^{2} ⩾ 0$ — доведено.
3) $c^{2} - c d + c d = c^{2} ⩾ 0$ — доведено.
4) $p^{2} - 11 p + 36 - p = p^{2} - 12 p + 36 = (p - 6)^{2} ⩾ 0$ — доведено.

Відповідь:

Різниці: $(m - n)^{2}$ , $(t + 1)^{2}$ , $c^{2}$ , $(p - 6)^{2}$ — невід’ємні, нерівності доведено.

Завдання 1.16

Порівняння виразів з коренями

Порівняйте числа: 1) $5 - 2$ і $\frac{1}{5 + 2}$ ; 2) $7 + 3$ і $\frac{1}{7 - 3}$ .

Розв’язання

1) $\frac{1}{5 + 2} = \frac{5 - 2}{( 5 + 2 ) ( 5 - 2 )} = \frac{5 - 2}{5 - 4} = 5 - 2$ . Числа рівні.
2) $\frac{1}{7 - 3} = \frac{7 + 3}{7 - 3} = \frac{7 + 3}{4}$ .
Додатне число $7 + 3$ більше за свою четверту частину, тому $7 + 3 > \frac{1}{7 - 3}$ .

Відповідь:

1) $5 - 2 = \frac{1}{5 + 2}$ ; 2) $7 + 3 > \frac{1}{7 - 3}$ .

Завдання 1.17

Порівняння виразів з коренями

Порівняйте числа: 1) $3 - 1$ і $\frac{1}{3 + 1}$ ; 2) $4 + 15$ і $\frac{1}{4 - 15}$ .

Розв’язання

1) $\frac{1}{3 + 1} = \frac{3 - 1}{3 - 1} = \frac{3 - 1}{2}$ .
Оскільки $3 - 1 > 0$ , то $3 - 1 > \frac{3 - 1}{2}$ .
2) $\frac{1}{4 - 15} = \frac{4 + 15}{16 - 15} = 4 + 15$ — числа рівні.

Відповідь:

1) $3 - 1 > \frac{1}{3 + 1}$ ; 2) $4 + 15 = \frac{1}{4 - 15}$ .