ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 20

Алгебра, Істер О. С., Істер Д. О., 2026 · № 1.18–1.29 · 12 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 1. Числові нерівності

Завдання 1.18

Доведення нерівностей виділенням квадрата

Доведіть нерівність: 1) $a^{2} + 10 a + 26 > 0$ ; 2) $8 a < a^{2} + 20$ .

Розв’язання

1) $a^{2} + 10 a + 26 = (a^{2} + 10 a + 25) + 1 = (a + 5)^{2} + 1$ .
$(a + 5)^{2} ⩾ 0$ , отже $(a + 5)^{2} + 1 ⩾ 1 > 0$ — доведено.
2) $a^{2} + 20 - 8 a = (a^{2} - 8 a + 16) + 4 = (a - 4)^{2} + 4 > 0$ , тому $8 a < a^{2} + 20$ — доведено.

Відповідь:

$a^{2} + 10 a + 26 = (a + 5)^{2} + 1 > 0$ ; $a^{2} + 20 - 8 a = (a - 4)^{2} + 4 > 0$ .

Завдання 1.19

Доведення нерівностей виділенням квадрата

Доведіть нерівність: 1) $b^{2} - 4 b + 7 > 0$ ; 2) $- 2 b < b^{2} + 2$ .

Розв’язання

1) $b^{2} - 4 b + 7 = (b - 2)^{2} + 3 ⩾ 3 > 0$ — доведено.
2) $b^{2} + 2 - (- 2 b) = b^{2} + 2 b + 2 = (b + 1)^{2} + 1 > 0$ — доведено.

Відповідь:

$(b - 2)^{2} + 3 > 0$ і $(b + 1)^{2} + 1 > 0$ .

Завдання 1.20

Знак виразу при будь-якому x

$x$ — довільне число. Порівняйте з нулем: 1) $x^{2} + 5$ ; 2) $- (x - 1)^{2} - 3$ ; 3) $(x - 7)^{2}$ ; 4) $- (x + 9)^{2}$ ; 5) $9 + (x - 1)^{2}$ ; 6) $(x - 1)^{2} + (x - 2)^{2}$ .

Розв’язання

1) $x^{2} + 5 ⩾ 5 > 0$ .
2) $- (x - 1)^{2} ⩽ 0$ , тому $- (x - 1)^{2} - 3 ⩽ - 3 < 0$ .
3) $(x - 7)^{2} ⩾ 0$ (дорівнює нулю при $x = 7$ ).
4) $- (x + 9)^{2} ⩽ 0$ (нуль при $x = - 9$ ).
5) $9 + (x - 1)^{2} ⩾ 9 > 0$ .
6) Обидва квадрати невід’ємні й не можуть одночасно дорівнювати нулю (для цього потрібно $x = 1$ і $x = 2$ водночас), тому сума $> 0$ .

Відповідь:

1) $> 0$ ; 2) $< 0$ ; 3) $⩾ 0$ ; 4) $⩽ 0$ ; 5) $> 0$ ; 6) $> 0$ .

Завдання 1.21

Доведення з умовою на змінну

Доведіть: 1) $x^{3} - 3 x^{2} + x - 3 ⩾ 0$ , якщо $x ⩾ 3$ ; 2) $\frac{3}{a + 3} > \frac{1}{a + 1}$ , якщо $a > 0$ .

Розв’язання

1) $x^{3} - 3 x^{2} + x - 3 = x^{2} (x - 3) + (x - 3) = (x - 3) (x^{2} + 1)$ .
При $x ⩾ 3$ : $x - 3 ⩾ 0$ , а $x^{2} + 1 > 0$ , тож добуток $⩾ 0$ — доведено.
2) $\frac{3}{a + 3} - \frac{1}{a + 1} = \frac{3 ( a + 1 ) - ( a + 3 )}{( a + 3 ) ( a + 1 )} = \frac{2 a}{( a + 3 ) ( a + 1 )}$ .
При $a > 0$ чисельник і обидва множники знаменника додатні, отже різниця $> 0$ — доведено.

Відповідь:

1) $(x - 3) (x^{2} + 1) ⩾ 0$ ; 2) різниця дорівнює $\frac{2 a}{( a + 3 ) ( a + 1 )} > 0$ .

Завдання 1.22

Доведення з умовою на змінну

Доведіть: 1) $m^{3} + m^{2} + 5 m + 5 ⩾ 0$ , якщо $m ⩾ - 1$ ; 2) $\frac{p}{p + 7} < \frac{p + 1}{p + 8}$ , якщо $p > 0$ .

Розв’язання

1) $m^{3} + m^{2} + 5 m + 5 = m^{2} (m + 1) + 5 (m + 1) = (m + 1) (m^{2} + 5)$ .
При $m ⩾ - 1$ : $m + 1 ⩾ 0$ , $m^{2} + 5 > 0$ — добуток $⩾ 0$ .
2) $\frac{p}{p + 7} - \frac{p + 1}{p + 8} = \frac{p ( p + 8 ) - ( p + 1 ) ( p + 7 )}{( p + 7 ) ( p + 8 )} = \frac{p ^{2} + 8 p - p ^{2} - 8 p - 7}{( p + 7 ) ( p + 8 )} = \frac{- 7}{( p + 7 ) ( p + 8 )}$ .
При $p > 0$ знаменник додатний, тому різниця $< 0$ — доведено.

Відповідь:

1) $(m + 1) (m^{2} + 5) ⩾ 0$ ; 2) різниця $\frac{- 7}{( p + 7 ) ( p + 8 )} < 0$ .

Завдання 1.23

Сума квадратів

Доведіть нерівність: 1) $m^{2} + 4 m + p^{2} + 2 p + 5 ⩾ 0$ ; 2) $a^{2} + b^{2} ⩾ 4 (a + b) - 8$ ; 3) $m^{2} + n^{2} + 1 ⩾ m + n + mn$ ; 4) $a^{2} + b^{2} + c^{2} > 2 (a + b + c) - 4$ .

Розв’язання

1) $m^{2} + 4 m + 4 + p^{2} + 2 p + 1 = (m + 2)^{2} + (p + 1)^{2} ⩾ 0$ .
2) $a^{2} + b^{2} - 4 a - 4 b + 8 = (a - 2)^{2} + (b - 2)^{2} ⩾ 0$ .
3) $2 (m^{2} + n^{2} + 1 - m - n - mn) = (m - n)^{2} + (m - 1)^{2} + (n - 1)^{2} ⩾ 0$ , тож і сама різниця $⩾ 0$ .
4) $a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2 a - 2 b - 2 c + 4 = (a - 1)^{2} + (b - 1)^{2} + (c - 1)^{2} + 1 > 0$ .

Відповідь:

Кожну різницю подано як суму квадратів (у 4 — ще й плюс 1), тому нерівності доведено.

Завдання 1.24

Нерівності для додатних a

Для кожного додатного $a$ доведіть: 1) $a^{3} + 2 a^{2} + a > 0$ ; 2) $a^{3} + 1 ⩾ a^{2} + a$ ; 3) $(a + 1)^{3} ⩽ 4 (a^{3} + 1)$ ; 4) $a^{6} - a^{5} + a^{4} > 0$ .

Розв’язання

1) $a^{3} + 2 a^{2} + a = a (a + 1)^{2} > 0$ , бо $a > 0$ і $(a + 1)^{2} > 0$ .
2) $a^{3} + 1 - a^{2} - a = a^{2} (a - 1) - (a - 1) = (a - 1) (a^{2} - 1) = (a - 1)^{2} (a + 1) ⩾ 0$ .
3) $4 (a^{3} + 1) - (a + 1)^{3} = (a + 1) (4 (a^{2} - a + 1) - (a + 1)^{2}) = (a + 1) (3 a^{2} - 6 a + 3) = 3 (a + 1) (a - 1)^{2} ⩾ 0$ .
4) $a^{6} - a^{5} + a^{4} = a^{4} (a^{2} - a + 1)$ , де $a^{2} - a + 1 = (a - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} > 0$ і $a^{4} > 0$ .

Відповідь:

Усі чотири нерівності доведено розкладом на множники.

Завдання 1.25

Нерівності для від’ємних p

Для кожного від’ємного $p$ доведіть: 1) $p^{3} + 10 p^{2} + 25 p ⩽ 0$ ; 2) $1 - p^{3} > p - p^{2}$ .

Розв’язання

1) $p^{3} + 10 p^{2} + 25 p = p (p + 5)^{2}$ . При $p < 0$ множник $p$ від’ємний, а $(p + 5)^{2} ⩾ 0$ , тому добуток $⩽ 0$ .
2) $1 - p^{3} - p + p^{2} = (1 - p) + p^{2} (1 - p) = (1 - p) (1 + p^{2})$ .
При $p < 0$ : $1 - p > 0$ і $1 + p^{2} > 0$ , тому різниця додатна — доведено.

Відповідь:

1) $p (p + 5)^{2} ⩽ 0$ ; 2) $(1 - p) (1 + p^{2}) > 0$ .

Завдання 1.26

Нерівність Коші

Доведіть: 1) $\frac{7 a}{2 b} + \frac{8 b}{7 a} ⩾ 4$ , якщо $a$ і $b$ одного знака; 2) $\frac{3 m}{5 n} + \frac{5 n}{12 m} ⩽ - 1$ , якщо $m$ і $n$ різних знаків.

Розв’язання

1) Якщо $a$ і $b$ одного знака, обидва дроби додатні. Їх добуток: $\frac{7 a}{2 b} \cdot \frac{8 b}{7 a} = 4$ .
За нерівністю Коші: $\frac{7 a}{2 b} + \frac{8 b}{7 a} ⩾ 24 = 4$ .
2) Якщо знаки різні, обидва дроби від’ємні. Позначимо $x = - \frac{3 m}{5 n} > 0$ , $y = - \frac{5 n}{12 m} > 0$ ; $x y = \frac{15}{60} = \frac{1}{4}$ .
Тоді $x + y ⩾ 2 \frac{1}{4} = 1$ , а отже $\frac{3 m}{5 n} + \frac{5 n}{12 m} = - (x + y) ⩽ - 1$ .

Відповідь:

Обидві нерівності випливають із нерівності Коші.

Завдання 1.27

Сума взаємно обернених чисел

Доведіть: 1) $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} ⩾ 2$ , якщо $a > 0$ , $b > 0$ ; 2) $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} ⩽ - 2$ , якщо $a < 0$ , $b > 0$ .

Розв’язання

1) $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2 = \frac{a ^{2} + b ^{2} - 2 ab}{ab} = \frac{( a - b ) ^{2}}{ab} ⩾ 0$ , бо $ab > 0$ .
2) $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 2 = \frac{( a + b ) ^{2}}{ab}$ . Тепер $ab < 0$ , а чисельник $⩾ 0$ , тож дріб $⩽ 0$ .

Відповідь:

1) різниця $\frac{( a - b ) ^{2}}{ab} ⩾ 0$ ; 2) $\frac{( a + b ) ^{2}}{ab} ⩽ 0$ .

Завдання 1.28

Порівняння виразів

Порівняйте $m^{3} + n^{3}$ і $mn (m + n)$ , якщо $m$ і $n$ — додатні, $m \neq = n$ .

Розв’язання

$m^{3} + n^{3} - mn (m + n) = (m + n) (m^{2} - mn + n^{2}) - mn (m + n) = (m + n) (m^{2} - 2 mn + n^{2}) = (m + n) (m - n)^{2}$ .
$m + n > 0$ , а $(m - n)^{2} > 0$ , бо $m \neq = n$ . Різниця додатна.

Відповідь:

$m^{3} + n^{3} > mn (m + n)$ .

Завдання 1.29

Добутки чисел, збільшених на a

До кожного з чисел 2, 3, 4, 5 додали одне й те саме число $a$ . Порівняйте добуток першого й четвертого виразів із добутком другого й третього.

Розв’язання

Перший і четвертий: $(2 + a) (5 + a) = a^{2} + 7 a + 10$ .
Другий і третій: $(3 + a) (4 + a) = a^{2} + 7 a + 12$ .
Різниця: $(a^{2} + 7 a + 10) - (a^{2} + 7 a + 12) = - 2 < 0$ при будь-якому $a$ .

Відповідь:

Добуток першого й четвертого завжди на 2 менший за добуток другого й третього.