ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 21

Алгебра, Істер О. С., Істер Д. О., 2026 · № 1.30–1.38 · 9 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 1. Числові нерівності

Завдання 1.30

Задача про бейджики

Дві школи витратили на бейджики однакову суму. Перша на половину коштів купила бейджики по 4 грн, на іншу половину — по 6 грн. Друга на всі кошти купила бейджики по 5 грн. Яка школа купила більше бейджиків?

Розв’язання

Нехай кожна школа витратила $S$ грн. Перша купила $\frac{S}{2} : 4 + \frac{S}{2} : 6 = \frac{S}{8} + \frac{S}{12} = \frac{5 S}{24}$ бейджиків.
Друга купила $\frac{S}{5}$ бейджиків.
$\frac{5 S}{24} - \frac{S}{5} = \frac{25 S - 24 S}{120} = \frac{S}{120} > 0$ .

Відповідь:

Більше бейджиків купила перша школа.

Завдання 1.31

Задача про зошити

Софія і Поліна купили однакову кількість зошитів. Софія купила всі по 30 грн, Поліна — третину по 24 грн, а решту по 32 грн. Хто витратив менше?

Розв’язання

Софія витратила $30 n$ грн.
Поліна: $\frac{n}{3} \cdot 24 + \frac{2 n}{3} \cdot 32 = 8 n + \frac{64 n}{3} = \frac{88 n}{3}$ грн.
$30 n - \frac{88 n}{3} = \frac{90 n - 88 n}{3} = \frac{2 n}{3} > 0$ , тобто Софія витратила більше.

Відповідь:

Менше грошей витратила Поліна.

Завдання 1.32

Квадратні рівняння (повторення)

Розв’яжіть рівняння: 1) $2 x^{2} - 3 x - 5 = 0$ ; 2) $5 x^{2} - 2 x - 3 = 0$ .

Розв’язання

1) $D = (- 3)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 5) = 9 + 40 = 49$ ; $x = \frac{3 \pm 7}{4}$ , отже $x_{1} = 2, 5$ , $x_{2} = - 1$ .
2) $D = (- 2)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 3) = 4 + 60 = 64$ ; $x = \frac{2 \pm 8}{10}$ , отже $x_{1} = 1$ , $x_{2} = - 0, 6$ .

Відповідь:

1) $- 1; 2, 5$ ; 2) $- 0, 6; 1$ .

Завдання 1.33

Графіки лінійних функцій (повторення)

Побудуйте графік функції: 1) $y = 3 x - 5$ ; 2) $y = 7$ ; 3) $y = - 0, 2 x$ .

Розв’язання

1) $x = 0 \Rightarrow y = - 5$ ; $x = 2 \Rightarrow y = 1$ . Проводимо пряму через $(0; - 5)$ і $(2; 1)$ .
2) $y = 7$ — пряма, паралельна осі $O x$ , що проходить через точку $(0; 7)$ .
3) $x = 0 \Rightarrow y = 0$ ; $x = 5 \Rightarrow y = - 1$ . Пряма проходить через початок координат і точку $(5; - 1)$ .

Відповідь:

Прямі через точки: 1) $(0; - 5)$ і $(2; 1)$ ; 2) горизонтальна пряма $y = 7$ ; 3) $(0; 0)$ і $(5; - 1)$ .

Завдання 1.34

Задача про оранку поля

Трактористи мали зорати поле площею 40 га. Щодня вони орали на 1 га більше, ніж планували, тому закінчили на 2 дні раніше. За скільки днів трактористи зорали поле?

Розв’язання

За планом: $\frac{40}{x}$ днів, фактично: $\frac{40}{x + 1}$ днів. Різниця — 2 дні: $\frac{40}{x} - \frac{40}{x + 1} = 2$ .
Множимо на $x (x + 1)$ : $40 (x + 1) - 40 x = 2 x (x + 1)$ , тобто $40 = 2 x^{2} + 2 x$ , або $x^{2} + x - 20 = 0$ .
Корені: $x = 4$ або $x = - 5$ (не підходить, бо продуктивність додатна).
Фактично орали $4 + 1 = 5$ га на день, отже поле зорали за $40 : 5 = 8$ днів.

Відповідь:

За 8 днів.

Завдання 1.35

Сума з коренями (телескопічна)

Обчисліть: $\frac{1}{5 + 1} + \frac{1}{9 + 5} + \frac{1}{13 + 9} + \dots + \frac{1}{49 + 45}$ .

Розв’язання

Кожен доданок має вигляд $\frac{k + 4 - k}{4}$ для $k = 1, 5, 9, \dots, 45$ .
Сума: $\frac{1}{4} (5 - 1 + 9 - 5 + 13 - 9 + \dots + 49 - 45)$ .
Усі проміжні корені скорочуються: лишається $\frac{49 - 1}{4} = \frac{7 - 1}{4} = 1, 5$ .

Відповідь:

$1, 5$ .

Завдання 1.36

Життєва математика: фундамент для гаража

Фундамент із піноблоків: 3 м³ піноблоків і 6 мішків цементу. Бетонний: 3 т щебеню і 30 мішків цементу. 1 м³ піноблоків — 1560 грн, щебінь — 370 грн за тонну, мішок цементу — 130 грн. Скільки коштуватиме матеріал для найдешевшого варіанта?

Розв’язання

Піноблоки: $3 \cdot 1560 + 6 \cdot 130 = 4680 + 780 = 5460$ грн.
Бетон: $3 \cdot 370 + 30 \cdot 130 = 1110 + 3900 = 5010$ грн.
$5010 < 5460$ , тож дешевший — бетонний фундамент.

Відповідь:

5010 грн (бетонний фундамент).

Завдання 1.37

Читаємо нерівності

Прочитайте: 1) $a ⩽ 7$ ; 2) $b > - 8$ ; 3) $x < - 2$ ; 4) $m ⩾ 0$ ; 5) $- 2 < x ⩽ 3$ ; 6) $0 < p < 5$ ; 7) $3 ⩽ c ⩽ 5$ ; 8) $- 5 ⩽ y < 7$ .

Розв’язання

1) $a$ менше або дорівнює 7; 2) $b$ більше за −8; 3) $x$ менше від −2; 4) $m$ більше або дорівнює нулю.
5) $x$ більше за −2 і менше або дорівнює 3; 6) $p$ більше за 0 і менше від 5.
7) $c$ не менше від 3 і не більше за 5; 8) $y$ більше або дорівнює −5 і менше від 7.

Відповідь:

Див. кроки — кожну нерівність прочитано словами.

Завдання 1.38

Властивості рівностей

Чи правильні твердження: 1) якщо $a = b$ , то $b = a$ ; 2) якщо $a = b$ , $b = c$ , то $a = c$ ; 3) якщо $a = b$ , то $a + p = b + p$ ; 4) якщо $a = b$ , то $a - p = b - p$ ?

Розв’язання

1) Так — рівність симетрична.
2) Так — рівність транзитивна.
3) і 4) Так — якщо до рівних чисел додати (від них відняти) одне й те саме число, отримаємо рівні числа.

Відповідь:

Усі чотири твердження правильні.