Доведіть, що при всіх a: 1) a4+1a2⩽21; 2) 5(5a+1)2⩾4a.
Що треба знати
Число a більше за b, якщо різниця a−b додатна, і менше, якщо вона від’ємна. Щоб довести нерівність A⩾B, складають різницю A−B і показують, що вона невід’ємна, найчастіше виділяючи повні квадрати, бо t2⩾0 при будь-якому t.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Складіть різницю частин і помітьте в чисельнику повний квадрат.
Розв’язання крок за кроком
1) 21−a4+1a2=2(a4+1)a4+1−2a2=2(a4+1)(a2−1)2⩾0, бо чисельник — квадрат, а знаменник додатний. Отже, a4+1a2⩽21.
2) 5(5a+1)2−4a=525a2+10a+1−20a=525a2−10a+1=5(5a−1)2⩾0. Отже, 5(5a+1)2⩾4a.
Відповідь:
Доведено: 1) різниця дорівнює 2(a4+1)(a2−1)2⩾0; 2) різниця дорівнює 5(5a−1)2⩾0.
