Завдання 1.25, 1. Числові нерівності — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 1.25

Виділення повних квадратів

Доведіть: 1) $a^{2} + b^{2} + 6 a - 4 b + 13 ⩾ 0$ ; 2) $x^{2} - 2 x + y^{2} + 10 y + 28 > 0$ ; 3) $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 12 ⩾ 4 (a + b + c)$ ; 4) $a^{2} b^{2} + a^{2} + b^{2} + 1 ⩾ 4 ab$ .

Розв’язання

1) $a^{2} + b^{2} + 6 a - 4 b + 13 = (a^{2} + 6 a + 9) + (b^{2} - 4 b + 4) = (a + 3)^{2} + (b - 2)^{2} ⩾ 0$ .
2) $x^{2} - 2 x + y^{2} + 10 y + 28 = (x^{2} - 2 x + 1) + (y^{2} + 10 y + 25) + 2 = (x - 1)^{2} + (y + 5)^{2} + 2 ⩾ 2 > 0$ .
3) $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 12 - 4 (a + b + c) = (a^{2} - 4 a + 4) + (b^{2} - 4 b + 4) + (c^{2} - 4 c + 4) = (a - 2)^{2} + (b - 2)^{2} + (c - 2)^{2} ⩾ 0$ .
4) $a^{2} b^{2} + a^{2} + b^{2} + 1 - 4 ab = (a^{2} b^{2} - 2 ab + 1) + (a^{2} - 2 ab + b^{2}) = (ab - 1)^{2} + (a - b)^{2} ⩾ 0$ .

Відповідь:

Доведено: 1) $(a + 3)^{2} + (b - 2)^{2} ⩾ 0$ ; 2) $(x - 1)^{2} + (y + 5)^{2} + 2 > 0$ ; 3) $(a - 2)^{2} + (b - 2)^{2} + (c - 2)^{2} ⩾ 0$ ; 4) $(ab - 1)^{2} + (a - b)^{2} ⩾ 0$ .

Розбір зрозумілий?

1. Числові нерівності Завдання 1.25 с. 12

Виділення повних квадратів

Умова

Що треба знати

Число $a$ більше за $b$ , якщо різниця $a - b$ додатна, і менше, якщо вона від’ємна. Щоб довести нерівність $A ⩾ B$ , складають різницю $A - B$ і показують, що вона невід’ємна, найчастіше виділяючи повні квадрати, бо $t^{2} ⩾ 0$ при будь-якому $t$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Згрупуйте доданки з однією змінною і виділіть повні квадрати.

Розв’язання крок за кроком

1) $a^{2} + b^{2} + 6 a - 4 b + 13 = (a^{2} + 6 a + 9) + (b^{2} - 4 b + 4) = (a + 3)^{2} + (b - 2)^{2} ⩾ 0$ .
2) $x^{2} - 2 x + y^{2} + 10 y + 28 = (x^{2} - 2 x + 1) + (y^{2} + 10 y + 25) + 2 = (x - 1)^{2} + (y + 5)^{2} + 2 ⩾ 2 > 0$ .
3) $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 12 - 4 (a + b + c) = (a^{2} - 4 a + 4) + (b^{2} - 4 b + 4) + (c^{2} - 4 c + 4) = (a - 2)^{2} + (b - 2)^{2} + (c - 2)^{2} ⩾ 0$ .
4) $a^{2} b^{2} + a^{2} + b^{2} + 1 - 4 ab = (a^{2} b^{2} - 2 ab + 1) + (a^{2} - 2 ab + b^{2}) = (ab - 1)^{2} + (a - b)^{2} ⩾ 0$ .

Відповідь:

Доведено: 1) $(a + 3)^{2} + (b - 2)^{2} ⩾ 0$ ; 2) $(x - 1)^{2} + (y + 5)^{2} + 2 > 0$ ; 3) $(a - 2)^{2} + (b - 2)^{2} + (c - 2)^{2} ⩾ 0$ ; 4) $(ab - 1)^{2} + (a - b)^{2} ⩾ 0$ .

Розбір зрозумілий?